Nā nīnau hoʻohālike e kūkākūkā ana i ka hoʻohuihui hoʻololi me ka hoʻohana ʻana i nā Matrices
He kumuhana koʻikoʻi nā hoʻololi ʻano honua i ka makemakika, ʻoi aku hoʻi i ke ʻano honua a me ka algebra linear. Hiki i kēia mau hoʻololi ke komo pū me nā unuhi, nā hoʻohuli, nā ʻōlinolino, a me nā dilations. Ma kēia ʻatikala, e nānā mākou pehea e hiki ai ke hōʻike ʻia a hoʻoponopono ʻia ka haku mele ʻana o nā hoʻololi like ʻole me ka hoʻohana ʻana i nā matrices. E hāʻawi pū mākou i nā pilikia a me nā hoʻonā hoʻohālike.
1. Hoʻolauna i ka Hoʻololi ʻana me ka hoʻohana ʻana i nā Matrices
Hiki ke hōʻike ʻia nā hoʻololi geometric e nā matrices. No ka laʻana, hiki ke hoʻokumu ʻia nā hoʻololi rotation, translation, reflection, a me dilation ma ke ʻano matrix penei:
1. Unuhi
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Hoʻohuli
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. Noʻonoʻo e pili ana i ka axis-X
\[
\text{Noʻonoʻo X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Hoʻonui (hoʻonui/hoʻonui ʻana)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Ka Hoʻohui ʻana o nā Hoʻololi me nā Matrices
ʻO ka hoʻohuihui hoʻololi ka hoʻopili ʻana o ʻelua a ʻoi aku paha nā hoʻololi i kahi mea. No ka helu ʻana i ka hoʻohuihui hoʻololi me ka hoʻohana ʻana i nā matrices, hoʻonui wale mākou i nā matrices e hōʻike ana i nā hoʻololi.
Nā Nīnau Laʻana a me ke Kūkākūkā
Nīnau
I hāʻawi ʻia i ke kiko P(2, 3), e ʻimi i ka hopena o ka hoʻololi ʻana ma lalo nei:
1. Ka hoʻohuli ʻana \(90^\circ\) i ka ʻaoʻao ʻākau (CW)
2. Hoʻonui ʻia me kahi kumu unahi o 2
3. Unuhi ʻia o (1, -2)
Pahana
1. Hoʻohuli \(90^\circ\) CW
ʻO ka matrix no ka hoʻohuli ʻana o ka ʻaoʻao ʻākau o \(90^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Ke hoʻopili nei i kahi hoʻololi wili ma kahi P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
ʻO ke kiko P ma hope o ka hoʻololi ʻana o ka wili ʻo P'(3, -2).
2. Hoʻonui ʻia me kahi kumu unahi o 2
Matrix no ka dilation me ka helu unahi 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Ke hoʻopili nei i kahi hoʻololi dilation ma kahi P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
ʻO ke kiko P' ma hope o ka hoʻololi ʻana o ka dilation ʻo P”(6, -4).
3. Unuhi ʻia o (1, -2)
Eia nā hana unuhi i hāʻawi ʻia:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Ke hoʻopili nei i ka hoʻololi unuhi ma ke kiko P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
No laila, ʻo ke kiko hopena ma hope o ka hoʻopili ʻia ʻana o nā hoʻololi āpau ʻo P(7, -6).
3. Ke helu ʻana i ka hoʻohuihui hoʻololi
Nā Nīnau Hou Aʻe
Hāʻawi ʻia ke kiko Q(1, 2) a me ka hoʻololi ʻana ma lalo nei:
1. Noʻonoʻo e pili ana i ka axis-X.
2. Ka hoʻohuli ʻana \(180^\circ\) i ka ʻaoʻao ʻākau (CW).
Pahana
1. Noʻonoʻo e pili ana i ka axis X
ʻO ka matrix reflection e pili ana i ke axis-X:
\[
1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Ke hoʻopili nei i kahi hoʻololi noʻonoʻo ma kahi Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
ʻO ke kiko Q ma hope o ka hoʻololi ʻana o ke akahele ʻo Q'(1, -2).
2. Hoʻohuli \(180^\circ\) CW
Matrix no ka hoʻohuli ʻana \(180^\circ\) ʻaoʻao ʻākau:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Ke hoʻopili nei i kahi hoʻololi hoʻohuli \(180^\circ\) ma ke kiko Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
No laila, ʻo ke kiko hopena ma hope o ka hoʻopili ʻia ʻana o nā hoʻololi āpau ʻo Q(-1, 2).
Pani
He mea pono loa ke ʻano hoʻonohonoho hoʻololi me ka hoʻohana ʻana i nā matrices no ka hoʻomaʻalahi a me ka helu ʻana i nā hoʻololi geometric. Ma ka hahai ʻana i nā ʻanuʻu ma luna, hiki iā mākou ke hoʻomaopopo maʻalahi a hoʻopili i nā ʻano hoʻololi like ʻole i hoʻokahi kiko a i ʻole kekahi mea geometric ʻē aʻe. ʻO ke aʻo ʻana e hoʻohana i nā matrices i nā hoʻololi e maʻalahi ai ka hoʻopili ʻana iā lākou ma nā ʻano like ʻole e like me ka physics, nā kiʻi kamepiula, a me nā mea hou aku.
