Nā nīnau hoʻohālike a me ke kūkākūkā ʻana o nā hana hoʻonui, nā hana hoʻemi, a me nā hana paʻa
He kumuhana hohonu loa nā hana makemakika a piha i nā ʻano like ʻole, ʻo kekahi o ia pehea e hiki ai ke kālailai ʻia ma ke ʻano o ka hoʻonui ʻana, ka emi ʻana, a i ʻole nā kūlana paʻa. ʻO ka ʻike inā e hoʻonui ana, e emi ana, a i ʻole e mau ana kahi hana ma kahi wā i hāʻawi ʻia he mea nui ia i nā noi like ʻole o ka makemakika, me ka hoʻokele waiwai, ka physics, a me ka ʻenekinia. E uhi kēia ʻatikala i nā laʻana a me kā lākou kūkākūkā e pili ana i ka hoʻonui ʻana, ka emi ʻana, a me nā hana paʻa.
He aha nā hana hoʻonui, nā hana e emi ana, a me nā hana paʻa?
1. Hana Hoʻonui: Ua ʻōlelo ʻia kahi hana \( f(x) \) e hoʻonui ana ma kahi wā \( I \) inā no kēlā me kēia \( x_1 \) a me \( x_2 \) ma \( I \) me \( x_1 < x_2 \), loaʻa iā mākou \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Hana Hoʻemi: I ka ʻaoʻao ʻē aʻe, ua ʻōlelo ʻia kahi hana \( f(x) \) e emi ana ma kahi wā \( I \) inā no kēlā me kēia \( x_1 \) a me \( x_2 \) ma \( I \) me \( x_1 < x_2 \), loaʻa iā mākou \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Hana Paʻa: Ua ʻōlelo ʻia kahi hana \( f(x) \) he paʻa ma kahi wā \( I \) inā no kēlā me kēia \( x \) ma \( I \), ua like ka waiwai o ka hana, ʻo ia hoʻi \( f(x) = c \) no kēlā me kēia \( x \) ma \( I \), kahi he mau ʻo c.
Laʻana 1: Ke hoʻoholo nei i nā Waena o nā Hana Hoʻonui Hāʻawi ʻia ka hana \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). E hoʻoholo i nā wā e hoʻonui ai ka hana! Kūkākūkā: No ka hoʻoholo ʻana i nā wā e hoʻonui ai ka hana, pono mākou e ʻimi i ka derivative mua o ka hana a laila kālailai i ka hōʻailona o ka derivative. 1. KaʻAnuʻu Hana 1: E huli i ka derivative mua: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. KaʻAnuʻu Hana 2: E hoʻoholo i ke kiko koʻikoʻi: ʻO ke kiko koʻikoʻi ke kiko kahi i ʻole ai ka derivative mua a i ʻole i wehewehe ʻole ʻia. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] E puʻunaue i ka hoohalike holoʻokoʻa me 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Hoʻohui mākou i kēia hoohalike quadratic: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] No laila, ʻo nā kiko koʻikoʻi \( x = 2 \) a me \( x = -1 \). 3. KaʻAnuʻu Hana 3: E hoʻoholo i ka hōʻailona o ka derivative mua ma ka wā i hoʻokumu ʻia e nā kiko koʻikoʻi: E hana mākou i kahi papa hōʻailona no \( f'(x) \) ma nā wā \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), a me \( (2, \infty) \). - No \( x \in (-\infty, -1) \): E lawe \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] No ka mea \( f'(-2) > 0 \), a laila \( f(x) \) e piʻi ana ma ka manawa \( (-\infty, -1) \). – No \( x \in (-1, 2) \): E lawe \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
ʻOiai ʻo \( f'(0) < 0 \), a laila ʻo \( f(x) \) e emi ana ma ka manawa \( (-1, 2) \). - No \( x \in (2, \infty) \): E lawe iā \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] ʻOiai ʻo \( f'(3) > 0 \), a laila ʻo \( f(x) \) e piʻi ana ma ka manawa \( (2, \infty) \).
No laila, ke piʻi nei ka hana \( f(x) \) ma ka manawa \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Laʻana Pilikia 2: Ke hoʻoholo nei i ka wā hana e emi ana
Hāʻawi ʻia ka hana \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). E hoʻoholo i nā wā e emi ai ka hana!
Kūkākūkā:
1. KaʻAnuʻu Hana 1: E huli i ka derivative mua:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. KaʻAnuʻu Hana 2: E hoʻoholo i ke kiko koʻikoʻi:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
No laila, ʻo nā kiko koʻikoʻi ʻo \( x = 0 \) a me \( x = \frac{3}{2} \).
3. KaʻAnuʻu Hana 3: E hoʻoholo i ka hōʻailona o ka derivative mua ma ka wā:
– No \( x \in (-\infty, 0) \): E lawe \( x = -1 \)
g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40
ʻOiai ʻo \( g'(-1) < 0 \), a laila ke emi nei ʻo \( g(x) \) ma ka manawa \( (-\infty, 0) \).
No laila, emi iho ka hana \( g(x) \) ma ka manawa \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Laʻana Nīnau 3: Ke hoʻoholo nei i ka Waena o kahi Hana ma ka Hoʻomaha
Hāʻawi ʻia i ka hana \( h(x) = 7 \), e hoʻoholo i nā wā kahi e kū mau ai ka hana!
Kūkākūkā:
ʻO kahi hana mau e like me \( h(x) = 7 \) he derivative mua o ka zero no nā \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
ʻOiai ʻo ka derivative mua he zero mau, ua paʻa ka hana ma ka domain holoʻokoʻa, no laila hiki iā mākou ke ʻōlelo ua paʻa ka hana \( h(x) = 7 \) ma nā helu maoli a pau, ʻo ia hoʻi ma ka hōʻailona interval he \( (-\infty, \infty) \).
Ka hopena
ʻO ka hoʻomaopopo ʻana i nā wā o ka hoʻonui ʻana, ka emi ʻana, a me nā kūlana paʻa o kahi hana he ʻāpana koʻikoʻi ia o ka loiloi hana. Ma o nā laʻana ma luna, ua uhi mākou i nā manaʻo kumu a me nā ʻanuʻu e pono ai e ʻike i kēia mau wā. He mea pono loa kēia ʻike i nā noi hana a me nā kumumanaʻo like ʻole o ka makemakika.
