Nā nīnau hoʻohālike e kūkākūkā ana i nā moʻo geometric pau ʻole
ʻO kahi moʻo geometric pau ʻole he moʻo e komo pū ana me kahi helu palena ʻole o nā huaʻōlelo i loko o kahi holomua geometric. Loaʻa i kēia mau moʻo nā koi kikoʻī no kā lākou huina (a i ʻole palena) e hiki ke helu ʻia. Ma kēia ʻatikala, e kūkākūkā mākou i ke kumumanaʻo kumu o nā moʻo geometric pau ʻole, nā koi no ke kūkulu ʻana iā lākou, a me kekahi mau pilikia hoʻohālike a me kā lākou mau hoʻonā.
Nā Manaʻo Kumu o nā Moʻo Geometric Pau ʻole
ʻO ke kumu, he moʻo geometric kahi moʻo o nā helu kahi i loaʻa ai kēlā me kēia huaʻōlelo ma hope o ka mua ma ka hoʻonui ʻana i ka huaʻōlelo ma mua e kahi mau i kapa ʻia ʻo ka lakio maʻamau (r). Manaʻo mākou he moʻo geometric kā mākou:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
No kahi moʻo geometric pau ʻole, noʻonoʻo mākou i ka huina o nā huaʻōlelo āpau i loko o ka moʻo. Ua wehewehe ʻia ka huina o kēia moʻo penei:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
ʻO ka huina o kahi moʻo geometric palena ʻole e hui pū (loaʻa kahi huina paʻa) inā a inā wale nō ka lakio \( |r| < 1 \). Inā \( |r| \geq 1 \), a laila ke kaʻawale nei ka moʻo a ʻaʻohe ona huina paʻa (hele i ka palena ʻole).
Inā \( |r| < 1 \), hiki ke wehewehe ʻia ka huina S o kahi moʻo geometric pau ʻole penei: \[ S = \frac{a}{1-r} \] kahi: - \( S \) ka huina o ka moʻo, - \( a \) ka hua mua, - \( r \) ka lakio. Nā Nīnau Hoʻohālike a me ke Kūkākūkā ʻana Nīnau Hoʻohālike 1 Nīnau: E ʻimi i ka huina o ka moʻo geometric pau ʻole no kēia moʻo: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Kūkākūkā: E ʻike kākou i nā mea nui o ka moʻo: ʻO ka hua mua \( a = 3 \) Hiki ke loaʻa ka lakio \( r \) ma ka puʻunaue ʻana i ka hua ʻelua me ka hua mua, ʻo ia hoʻi: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] No ka mea \( |r| = 0.5 < 1 \), ua hui kēia moʻo a hiki iā mākou ke helu i ka huina o ka moʻo pau ʻole. E hoʻohana i ke ʻano hana no ka huina o kahi moʻo geometric pau ʻole: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] No laila, ʻo ka huina o ka moʻo geometric pau ʻole he 6. Laʻana Nīnau 2 Nīnau: E huli i ka huina o kahi moʻo geometric pau ʻole me ka hua mua he 8 a me ka lakio \( r = -\frac{1}{3} \). Kūkākūkā: ʻO ka huaʻōlelo mua \( a = 8 \) Ratio \( r = -\frac{1}{3} \) ʻOiai \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), ua hui kēia moʻo a hiki iā mākou ke helu i ka huina o ka moʻo palena ʻole. E hoʻohana i ke ʻano hana no ka huina o kahi moʻo geometric palena ʻole: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] No laila, ʻo ka huina o ka moʻo geometric palena ʻole he 6. Laʻana Nīnau 3 Nīnau: Loaʻa i kēia moʻo kahi huina palena ʻole? Inā pēlā, e ʻimi i ka huina. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Kūkākūkā: ʻO ka hua mua \( a = 5 \) Hiki ke loaʻa ka lakio \( r \) ma ka puʻunaue ʻana i ka hua ʻelua me ka hua mua, ʻo ia hoʻi: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] No ka mea \( |r| = 0.5 < 1 \), ua hui kēia moʻo a hiki iā mākou ke helu i ka huina o ka moʻo palena ʻole. E hoʻohana i ke ʻano no ka huina o kahi moʻo geometric palena ʻole: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] No laila, ʻo ka huina o ka moʻo geometric palena ʻole he 10. Laʻana Nīnau 4 Nīnau: E hoʻoholo inā he hui a he divergent paha kēia moʻo: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Kūkākūkā: ʻO ka hua mua \( a = 4 \) Hiki ke loaʻa ka lakio \( r \) ma ka puʻunaue ʻana i ka hua ʻelua me ka hua mua, ʻo ia hoʻi: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] No ka mea, \( |r| = 1.5 > 1 \), he ʻokoʻa kēia moʻo a ʻaʻohe ona huina paʻa.No laila, ʻokoʻa ke ʻano o ka moʻo.
Laʻana Nīnau 5
Nīnau: Manaʻo ʻia he mau moʻo pau ʻole kāu:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
E hoʻoholo i ka huina o ka moʻo.
Kūkākūkā:
Hua mua \( a = \frac{1}{2} \)
Hiki ke loaʻa ka lakio \( r \) ma ka puʻunaue ʻana i ka huaʻōlelo ʻelua i ka huaʻōlelo mua, ʻo ia hoʻi:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
ʻOiai \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), ua hui kēia moʻo a hiki iā mākou ke helu i ka huina o ka moʻo palena ʻole. E hoʻohana i ke ʻano no ka huina o kahi moʻo geometric palena ʻole: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] No laila, ʻo ka huina o ka moʻo geometric palena ʻole he 1. Hopena ʻO kahi moʻo geometric palena ʻole he manaʻo makemakika koʻikoʻi nona nā noi ākea ma nā ʻano like ʻole. No ka hoʻoholo ʻana i ka huina o kahi moʻo geometric palena ʻole, pono mākou e hōʻoia i ka lakio \( |r| < 1 \). No laila, hiki ke helu ʻia ka huina o ka moʻo me ka hoʻohana ʻana i kahi ʻano maʻalahi a pololei. Mai nā pilikia hoʻohālike ma luna, hiki iā mākou ke ʻike he mea maʻalahi loa kēia ʻano hana e hoʻoponopono i nā pilikia e pili ana i nā moʻo geometric palena ʻole.
