આંકડાકીય માહિતીમાં સરેરાશ વિચલન નક્કી કરવા માટેની તકનીકો

આંકડાકીય માહિતીમાં સરેરાશ વિચલન નક્કી કરવા માટેની તકનીકો

આંકડાશાસ્ત્રમાં, ફક્ત ડેટાના "કેન્દ્ર" ને સમજવું - ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ અથવા મધ્યક દ્વારા - ઘણીવાર પૂરતું નથી. બે ડેટા સેટમાં સમાન સરેરાશ હોઈ શકે છે, પરંતુ "ભિન્નતા" ના સ્તરોમાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે. તેથી, વિક્ષેપના માપ મહત્વપૂર્ણ છે. વિક્ષેપનું એક માપ જે સમજવા અને ઉપયોગમાં લેવા માટે પ્રમાણમાં સરળ છે તે સરેરાશ વિચલન છે. આ લેખ ગણતરીના પગલાં અને ઉદાહરણો સાથે પૂર્ણ થયેલ આંકડાકીય માહિતીના વિવિધ સ્વરૂપોમાં સરેરાશ વિચલન નક્કી કરવા માટેની તકનીકોની ચર્ચા કરે છે.

સરેરાશ વિચલનને સમજવું

સરેરાશ વિચલન એ એક માપ છે જે કેન્દ્રીય વલણના માપ, સામાન્ય રીતે અંકગણિત સરેરાશ (સરેરાશ) અથવા મધ્યકથી દરેક ડેટા બિંદુનું સરેરાશ અંતર દર્શાવે છે. પ્રશ્નમાં અંતર એ ડેટા અને કેન્દ્રીય મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે, જેથી કોઈ નકારાત્મક તફાવત હકારાત્મક તફાવતને "રદ" ન કરે.

સામાન્ય રીતે, સરેરાશ વિચલન એ દર્શાવે છે કે ડેટા તેના કેન્દ્રીય મૂલ્યથી કેટલો દૂર ફેલાયેલો છે. સરેરાશ વિચલન જેટલું નાનું હશે, ડેટા કેન્દ્રની આસપાસ વધુ ચુસ્તપણે ક્લસ્ટર થશે; મૂલ્ય જેટલું મોટું હશે, ડેટા વધુ ચલ હશે.

સંપૂર્ણ મૂલ્ય શા માટે વાપરવું?

જો આપણે ડેટા અને સરેરાશ વચ્ચેના તફાવતોની સરેરાશની ગણતરી નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિના કરીએ, તો તફાવતોનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય રહેશે (કારણ કે સરેરાશ એ સંતુલન બિંદુ છે). ઉદાહરણ તરીકે, જો +5 અને -5 ના તફાવત હોય, તો તે 0 સુધી ઉમેરે છે. તેથી, નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેથી વિચલનો ખરેખર કેન્દ્રથી ડેટાના અંતરને પ્રતિબિંબિત કરે.

સિંગલ ડેટા માટે સરેરાશ વિચલન સૂત્ર

એકલ ડેટા (જૂથબદ્ધ નહીં) માટે, સરેરાશથી સરેરાશ વિચલન ઘડવામાં આવે છે:

\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]

માહિતી:
– \( SR \): સરેરાશ વિચલન
– \( x_i \): i-th ડેટા
– \( \bar{x} \): અંકગણિત સરેરાશ (સરેરાશ)
– \( n \): ડેટાનો જથ્થો

સિંગલ ડેટા ગણતરી તકનીક (પગલાં)
1. બધા ડેટાના સરેરાશ \( \bar{x} \) ની ગણતરી કરો.
2. દરેક ડેટા અને સરેરાશ વચ્ચેના તફાવતની ગણતરી કરો: \( x_i – \bar{x} \).
3. દરેક તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય લો: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. તફાવતોના બધા સંપૂર્ણ મૂલ્યો ઉમેરો.
5. ડેટાની સંખ્યા \( n \) વડે ભાગાકાર કરો.

સિંગલ ડેટા ઉદાહરણ
મૂલ્ય ડેટા: 6, 8, 10, 12, 14

૧) સરેરાશ:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]

2) તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય:
– |૧૪ − ૧૦| = ૪
– |૧૪ − ૧૦| = ૪
– |૧૪ − ૧૦| = ૪
– |૧૪ − ૧૦| = ૪
– |૧૪ − ૧૦| = ૪

કુલ = ૪ + ૨ + ૦ + ૨ + ૪ = ૧૨

૩) સરેરાશ વિચલન:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]

આનો અર્થ એ થાય કે સરેરાશ દરેક મૂલ્ય સરેરાશ (10) થી 2,4 એકમ વિચલિત થાય છે.

વારંવાર (સ્વતંત્ર) ડેટા માટે સરેરાશ વિચલન

જો ડેટા મૂલ્યો અને ફ્રીક્વન્સીઝ (દા.ત. કોષ્ટક) ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે, તો સૂત્ર બને છે:

\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]

માહિતી:
– \( f_i \): ડેટા ફ્રીક્વન્સી \( x_i \)

ફ્રીક્વન્સી ડેટા ગણતરી તકનીકો
1. સરેરાશની ગણતરી કરો: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. ગણતરી કરો \( |x_i-\bar{x}| \)
3. આવર્તન દ્વારા ગુણાકાર કરો: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
૪. સ્ટેપ ૩ ના બધા પરિણામો ઉમેરો.
5. કુલ આવર્તન દ્વારા ભાગાકાર કરો

ડિસ્ક્રીટ ડેટા ઉદાહરણો
| મૂલ્ય (x) | આવર્તન (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |

કુલ આવર્તન: \(2+3+1=6\)

મીન:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]

વિચલનની ગણતરી કરો:
– x=5 માટે: |5−6,67|=1,67 → ગુણ્યા f=2 → 3,34
– x=7 માટે: |7−6,67|=0,33 → ગુણ્યા f=3 → 0,99
– x=9 માટે: |9−6,67|=2,33 → ગુણ્યા f=1 → 2,33

કુલ: ૩.૩૪ + ૦.૯૯ + ૨.૩૩ = ૬.૬૬

સરેરાશ વિચલન:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]

જૂથબદ્ધ ડેટા માટે સરેરાશ વિચલન (વર્ગ અંતરાલ)

જૂથબદ્ધ ડેટા (ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ આવર્તન વિતરણ) માં, ડેટા મૂલ્યો વ્યક્તિગત રીતે પ્રદર્શિત થતા નથી, પરંતુ વર્ગોમાં પ્રદર્શિત થાય છે. આ હેતુ માટે, વર્ગ મધ્યબિંદુ (xi) નો ઉપયોગ વર્ગની અંદરના ડેટાને રજૂ કરવા માટે થાય છે.

સૂત્ર:

\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]

જોકે, \(x_i\) એ વર્ગનો મધ્યબિંદુ છે.

ગ્રુપ ડેટા ગણતરી તકનીકો
1. દરેક વર્ગનો મધ્યબિંદુ નક્કી કરો:
\[
x_i=\frac{\text{નીચલી મર્યાદા + ઉપલી મર્યાદા}}{2}
\]
2. જૂથ સરેરાશની ગણતરી કરો:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. ગણતરી કરો \( |x_i-\bar{x}| \)
4. આવર્તન \( f_i \) વડે ગુણાકાર કરો
૫. બધા પરિણામો ઉમેરો, પછી કુલ આવર્તનથી ભાગાકાર કરો.

ગ્રુપ ડેટા ઉદાહરણ
| વર્ગ | એફ |
|—|—|
| ૨૦–૨૪ | ૨ |
| ૨૦–૨૪ | ૨ |
| ૨૦–૨૪ | ૨ |

મધ્યબિંદુ:
– ૨૦–૨૪ → ૨૨
– ૨૦–૨૪ → ૨૨
– ૨૦–૨૪ → ૨૨

કુલ f = 10

મીન:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]

વિચલન:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11

કુલ = ૧૩.૫ + ૨.૫ + ૧૧ = ૨૭

સરેરાશ વિચલન:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]

મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન

સરેરાશ ઉપરાંત, સરેરાશ વિચલન મધ્યકમાંથી પણ ગણતરી કરી શકાય છે. સિદ્ધાંત સમાન છે, ફક્ત કેન્દ્રીય મૂલ્ય અલગ છે. આ ઉપયોગી છે જ્યારે ડેટામાં આઉટલાયર હોય છે કારણ કે મધ્યક આત્યંતિક મૂલ્યો માટે વધુ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.

સિંગલ ડેટા માટે:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]

ફ્રીક્વન્સી ડેટા માટે:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]

સરેરાશ વિચલનના ફાયદા અને મર્યાદાઓ

વધારાનું:
1. સમજવામાં સરળ છે કારણ કે તે ડેટા સેન્ટરથી "સરેરાશ અંતર" નો ઉપયોગ કરે છે.
2. બધા ડેટાનો ઉપયોગ કરો (માત્ર ચોક્કસ ડેટા જ નહીં).
3. ડેટા પ્રસ્તુતિના વિવિધ સ્વરૂપો માટે ગણતરી કરી શકાય છે.

કેટરબટાસન:
1. અદ્યતન આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં પ્રમાણભૂત વિચલન કરતાં ઓછું લોકપ્રિય.
2. નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કેટલાક બીજગણિતીય મેનિપ્યુલેશન્સ માટે ઓછું અનુકૂળ બનાવે છે.
3. ઘણી અનુમાનિત પદ્ધતિઓમાં પ્રમાણભૂત વિચલન જેટલું મજબૂત નથી.

પેનટઅપ

આંકડાકીય માહિતીમાં સરેરાશ વિચલન નક્કી કરવાની તકનીક મૂળભૂત રીતે એક સુસંગત પેટર્નને અનુસરે છે: કેન્દ્રીય મૂલ્ય (સરેરાશ અથવા મધ્યક) નક્કી કરો, કેન્દ્રથી દરેક ડેટા બિંદુ (અથવા વર્ગ મધ્યબિંદુ) ના સંપૂર્ણ અંતરની ગણતરી કરો, અને પછી તેમને સરેરાશ કરો - જો ડેટા કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવે તો આવર્તનને ધ્યાનમાં લેતા. સરેરાશ વિચલન એ ડેટા પરિવર્તનશીલતાનું સાહજિક રીતે વર્ણન કરવા માટે વિક્ષેપનું અનુકૂળ માપ છે. પગલાંઓને સમજીને, તમે ડેટા સેટમાં વિવિધતાની તુલના કરી શકો છો અને ડેટા સેટની સ્થિરતાનું વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્યાંકન કરી શકો છો.

જો તમે ઇચ્છો તો, હું તમને આ લેખનું શાળા સોંપણી ફોર્મેટમાં (પરિચય-ચર્ચા-નિષ્કર્ષ સાથે) બનાવવામાં મદદ કરી શકું છું અથવા ચર્ચા સાથે પ્રેક્ટિસ પ્રશ્નો ઉમેરી શકું છું.