વર્ણનાત્મક આંકડાશાસ્ત્રમાં સરેરાશ, મધ્યક અને સ્થિતિ વચ્ચેનો તફાવત
વર્ણનાત્મક આંકડાશાસ્ત્રમાં, પ્રાથમિક ધ્યેયોમાંનો એક ડેટાને સરળ સમજણ માટે સારાંશ આપવાનો છે. મોટા, વૈવિધ્યસભર અને ક્યારેક "અવ્યવસ્થિત" ડેટાને કેન્દ્રીય વલણના માપદંડોના રૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે ત્યારે તે વધુ માહિતીપ્રદ બનશે. કેન્દ્રીય વલણના ત્રણ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા માપદંડો સરેરાશ, મધ્યક અને સ્થિતિ છે. જ્યારે ત્રણેય ડેટા સેટનું "પ્રતિનિધિ મૂલ્ય" દર્શાવવાનો હેતુ ધરાવે છે, ત્યારે તેમની કામગીરીની પદ્ધતિઓ, આઉટલાયર પ્રત્યે સંવેદનશીલતા અને યોગ્ય ઉપયોગની પરિસ્થિતિઓ નોંધપાત્ર રીતે બદલાય છે.
આ લેખમાં અર્થ, ગણતરી કેવી રીતે કરવી, ફાયદા અને ગેરફાયદા, અને સરેરાશ, મધ્યક અને સ્થિતિના ઉપયોગના ઉદાહરણોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે જેથી તમે વિશ્લેષણ કરવામાં આવતા ડેટા માટે સૌથી યોગ્ય માપ પસંદ કરી શકો.
૧. સરેરાશ (સરેરાશ): વ્યાખ્યા અને ગણતરી કેવી રીતે કરવી
સરેરાશ એ બધા ડેટા મૂલ્યોનો સરવાળો છે જેને ડેટા પોઈન્ટની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે છે. ઘણીવાર "સરેરાશ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, સરેરાશ રોજિંદા જીવનમાં સૌથી વધુ પરિચિત છે. તે બધા મૂલ્યોને પ્રમાણસર ધ્યાનમાં લઈને ડેટાના કેન્દ્રનો સ્નેપશોટ પૂરો પાડે છે.
સરેરાશ સૂત્ર:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
માહિતી:
– \(\sum x_i\) = બધા ડેટા મૂલ્યોનો સરવાળો
– \(n\) = ડેટાની સંખ્યા
ઉદાહરણ:
ધારો કે પાંચ વિદ્યાર્થીઓના પરીક્ષાના ગુણ છે: 70, 75, 80, 85, 90
સરેરાશ = (૭૦ + ૭૫ + ૮૦ + ૮૫ + ૯૦) / ૫ = ૪૦૦ / ૫ = ૮૦
સરેરાશ ફાયદા
૧. બધી માહિતીનો ઉપયોગ કરો જેથી વપરાયેલી માહિતી સંપૂર્ણ હોય.
2. ગણતરી કરવામાં સરળ અને અદ્યતન વિશ્લેષણમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે (દા.ત. ભિન્નતા, પ્રમાણભૂત વિચલન).
3. સંખ્યાત્મક ડેટા અને પ્રમાણમાં સપ્રમાણ વિતરણ માટે યોગ્ય.
સરેરાશ ઉણપ
૧. આઉટલાયર પ્રત્યે ખૂબ જ સંવેદનશીલ. એક આત્યંતિક મૂલ્ય મોટાભાગના ડેટાથી સરેરાશને ખૂબ દૂર ખેંચી શકે છે.
2. જો ડેટા વિતરણ વિકૃત હોય તો હંમેશા "લાક્ષણિક મૂલ્યો" રજૂ કરતું નથી.
બાહ્ય અસરોના ઉદાહરણો:
આવકનો ડેટા (મિલિયન રૂપિયા): ૩, ૩, ૪, ૪, ૫, ૫૦
સરેરાશ = (૩+૩+૪+૪+૫+૫૦)/૬ = ૬૯/૬ = ૧૧.૫
મોટાભાગની આવક ૩૦-૫ મિલિયનની રેન્જમાં હોય છે, પરંતુ સરેરાશ ઓછી પ્રતિનિધિત્વ કરતી હોય છે.
2. મધ્યક (મધ્યમ મૂલ્ય): વ્યાખ્યા અને ગણતરી કેવી રીતે કરવી
જ્યારે ડેટાને નાનાથી મોટામાં ગોઠવવામાં આવે છે ત્યારે મધ્યક એ મધ્યક છે. મધ્યક એકંદર પરિમાણને બદલે સ્થિતિ પર ભાર મૂકે છે, જે તેને આઉટલાયર માટે વધુ પ્રતિરોધક બનાવે છે.
મધ્યક કેવી રીતે નક્કી કરવું:
1. ડેટાને સૉર્ટ કરો.
2. જો ડેટાની સંખ્યા વિષમ હોય, તો મધ્યક એ મધ્યસ્થ સ્થિતિમાં મૂલ્ય છે.
3. જો ડેટાની સંખ્યા સમાન હોય, તો મધ્યક એ બે મધ્યમ મૂલ્યોની સરેરાશ છે.
ઉદાહરણ (વિચિત્ર):
ડેટા: ૭, ૨, ૯, ૪, ૩
મધ્યક = મધ્યમ મૂલ્ય = 5
ઉદાહરણ (સમ):
ડેટા: ૧૦, ૪, ૬, ૮
મધ્યક = (20 + 30) / 2 = 25
સરેરાશ ફાયદા
1. બાહ્ય અને આત્યંતિક મૂલ્યો સામે પ્રતિરોધક.
2. આવક, ઘરની કિંમતો અથવા રાહ જોવાના સમય જેવા વિકૃત ડેટા માટે યોગ્ય.
૩. ઓર્ડિનલ ડેટા માટે વાપરી શકાય છે (દા.ત. સંતોષ રેટિંગ: ખૂબ સંતુષ્ટ, સંતુષ્ટ, તટસ્થ, અસંતુષ્ટ).
મધ્યસ્થ ખામીઓ
1. તેની ગણતરીઓમાં બધા ડેટા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતું નથી (વધુ "સ્થિતિ-આધારિત").
2. સરેરાશ ગુણધર્મોની જરૂર હોય તેવા અદ્યતન ગાણિતિક વિશ્લેષણ માટે ઓછું યોગ્ય.
જો આપણે આવકના ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ: ૩, ૩, ૪, ૪, ૫, ૫૦
ડેટા સૉર્ટ થયેલ છે, 6 ડેટા માટેનો મધ્યક 3જી અને 4થા મૂલ્યોની સરેરાશ છે: (4 + 4) / 2 = 4
આ મધ્યક બહુમતી પરિસ્થિતિઓનું વધુ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
૩. સ્થિતિ (સૌથી વધુ મૂલ્ય): વ્યાખ્યા અને કેવી રીતે નક્કી કરવું
મોડ એ મૂલ્ય છે જે ડેટા સેટમાં સૌથી વધુ વારંવાર દેખાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ડેટામાં આ હોઈ શકે છે:
- એક મોડ (યુનિમોડલ): એક મૂલ્ય સૌથી વધુ વારંવાર દેખાય છે
- બે સ્થિતિઓ (બાયમોડલ): બે મૂલ્યો સૌથી વધુ વારંવાર દેખાય છે
- ઘણા મોડ્સ (મલ્ટિમોડલ)
- કોઈ મોડ નથી: જો બધા મૂલ્યો સમાન આવર્તન સાથે દેખાય છે
ઉદાહરણ:
ડેટા: ૭, ૨, ૯, ૪, ૩
મોડ = 3 (સૌથી વધુ વાર દેખાય છે)
બાયમોડલ ઉદાહરણ:
ડેટા: ૧, ૨, ૨, ૩, ૩, ૪
મોડ = 2 અને 3
મોડના ફાયદા
૧. કેન્દ્રીય વલણનું એકમાત્ર માપ જેનો ઉપયોગ નજીવા ડેટા માટે થઈ શકે છે (દા.ત. મનપસંદ રંગ, સૌથી વધુ પસંદગીનો બ્રાન્ડ).
2. સમજવામાં સરળ છે કારણ કે તે તરત જ સૌથી પ્રભાવશાળી શ્રેણી/મૂલ્ય દર્શાવે છે.
3. આઉટલાયર્સથી પ્રભાવિત નથી એ અર્થમાં કે આત્યંતિક મૂલ્યો સૌથી વધુ વારંવાર બનતા મૂલ્યોની આવર્તનને બદલતા નથી.
મોડનો અભાવ
1. ક્યારેક તે અનન્ય હોતું નથી (એક કરતાં વધુ હોઈ શકે છે) અથવા અસ્તિત્વમાં પણ નથી.
2. ઓછા સ્થિર હોઈ શકે છે; ડેટામાં નાના ફેરફારો મોડને બદલી શકે છે.
3. હંમેશા ગાણિતિક રીતે ડેટાના "કેન્દ્ર"નું પ્રતિનિધિત્વ કરતું નથી.
4. સરેરાશ, મધ્યક અને સ્થિતિ વચ્ચેના મુખ્ય તફાવતો
સારાંશમાં, ત્રણેય વચ્ચેના તફાવતો ગણતરી પદ્ધતિ, આઉટલાયર પ્રત્યે સંવેદનશીલતા અને યોગ્ય ડેટા પ્રકારો પરથી જોઈ શકાય છે:
1. સરેરાશ બધા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરે છે, સપ્રમાણ આંકડાકીય ડેટા માટે શ્રેષ્ઠ, પરંતુ આઉટલાયર પ્રત્યે સંવેદનશીલ.
2. સ્થિતિ પર આધારિત મધ્યક, ત્રાંસી ડેટા માટે યોગ્ય, આઉટલાયર સામે વધુ મજબૂત.
3. ફ્રીક્વન્સી પર આધારિત મોડ, વર્ગીકૃત/નોમિનલ ડેટા માટે અને સૌથી પ્રબળ મૂલ્ય જોવા માટે યોગ્ય.
ઘણા આંકડા પુસ્તકોમાં, ત્રણ વિતરણો વચ્ચે સામાન્ય સંબંધ જોવા મળે છે:
- સપ્રમાણ વિતરણ: સરેરાશ ≈ મધ્ય ≈ સ્થિતિ
– વિતરણ જમણી તરફ વળેલું (જમણી તરફ વળેલું): સરેરાશ > મધ્ય > સ્થિતિ
– ડાબી બાજુ વળેલું વિતરણ: સરેરાશ <મધ્યમ <મોડ જોકે, આ એક વલણ છે, સંપૂર્ણ નિયમ નથી. 5. સરેરાશ, મધ્યક અથવા સ્થિતિનો ઉપયોગ ક્યારે કરવો? કેન્દ્રીય વલણનું યોગ્ય માપ પસંદ કરવું એ ડેટાની પ્રકૃતિ અને વિશ્લેષણના હેતુ પર આધાર રાખે છે. સરેરાશનો ઉપયોગ કરો જો: - ડેટા આંકડાકીય છે (અંતરાલ/ગુણોત્તર). - વિતરણ પ્રમાણમાં સપ્રમાણ છે. - કોઈ આત્યંતિક આઉટલાયર નથી અથવા આઉટલાયરને હેન્ડલ કરવામાં આવ્યા છે. - તમારે અન્ય આંકડાકીય ગણતરીઓ માટે આધારની જરૂર છે. ઉદાહરણ પરિસ્થિતિ: સ્કોર્સના વાજબી વિતરણ સાથે સરેરાશ વર્ગ પરીક્ષણ સ્કોર્સ.
