શ્રેણી અને સમાંતરમાં સ્પ્રિંગ્સ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

શ્રેણી અને સમાંતર સ્પ્રિંગ્સ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. એક 160 ગ્રામ વજનનો પદાર્થ સ્પ્રિંગના એક છેડે જોડાય છે અને સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં 4 સેમી ફેરફાર થાય છે. ત્રણ છેડાની લંબાઈમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે? શ્રેણી અને સમાંતરમાં જોડાયેલા સ્પ્રિંગ્સ, નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે?

જાણીતા:

સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં ફેરફાર (Δx) = 4 સેમી = 0.04 મીટર શ્રેણી અને સમાંતર સ્પ્રિંગ્સ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો 1

માસ (મી) = 160 ગ્રામ = 0.16 કિગ્રા

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગક (g) = 10 મીટર/સેકન્ડ²

વજન (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 ન્યૂટન

જોઈતું હતું: ત્રણ સ્પ્રિંગ્સની લંબાઈમાં ફેરફાર (Δx)

ઉકેલો:

નું સમીકરણ હૂકનો કાયદો :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

ત્રણેય ઝરણાનો સ્થિરાંક સમાન છે, k = 40 N/m.

સમકક્ષ સ્થિરાંક નક્કી કરો:

વસંત 2 (k₂) અને વસંત 3 (k₃) સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે. સમકક્ષ અચળાંક :

k₂₃ = k₂ +k₃ = ૪૦ + ૪૦ = ૮૦ નાઈટ્રોજન/મી

વસંત 1 (k₁) અને વસંત 23 (k₂₃) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમકક્ષ અચળાંક:

૧/કે = ૧/કે₁ + ૧/કિલો₂₃ = ૧/૪૦૦ + ૧/૨૦૦ = ૧/૪૦૦ + ૨/૪૦૦ = ૩/૪૦૦

k = 80/3

ત્રણ સ્પ્રિંગ્સની લંબાઈમાં ફેરફાર નક્કી કરો:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 મીટર = 6 સેમી

2. શ્રેણી અને સમાંતરમાં જોડાયેલા સમાન સ્થિરાંક સાથે ત્રણ સ્પ્રિંગ્સ, અને સ્પ્રિંગના એક છેડે 2-કિલો વજનનો પદાર્થ જોડાયેલ છે, જેમ કે નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યું છે. સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક k છે₁= k₂ = k₃= 300 N/m. ત્રણ ઝરણાની લંબાઈમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ g = 10 ms છે.^-2.

જાણીતા:

વસંત સ્થિરાંક k₁= k₂ = k₃= ૩૦૦ એનએમ^-1

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms^-2

પદાર્થનું દળ (મી) = 2 કિલો

પદાર્થનું વજન (w) = mg = (2)(10) = 20 ન્યૂટન

આ પણ જુઓ કિર્ચહોફ કાયદો - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

જોઈતું હતું: ત્રણ ઝરણાની લંબાઈમાં ફેરફાર (Δx)

ઉકેલો:

સમકક્ષ સ્થિરાંક નક્કી કરો:

વસંત 1 (k₁) અને વસંત 2 (k₂) સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે. સમકક્ષ અચળાંક:

k₁₂ = k₁ +k₂ = ૪૦ + ૪૦ = ૮૦ નાઈટ્રોજન/મી

વસંત 3 (k₃) અને વસંત 12 (k₁₂) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમકક્ષ અચળાંક:

૧/કે = ૧/કે₃ + ૧/કિલો₁₂ = ૧/૪૦૦ + ૧/૨૦૦ = ૧/૪૦૦ + ૨/૪૦૦ = ૩/૪૦૦

k = 600/3 = 200 નાઈટ્રોજન/મીટર

ત્રણ સ્પ્રિંગ્સની લંબાઈમાં ફેરફાર નક્કી કરો:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 મીટર

3. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, ત્રણ સ્પ્રિંગ્સ શ્રેણી અને સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. જો સ્પ્રિંગ અચળાંક k = 50 Nm^-1 અને સ્પ્રિંગના એક છેડે 400 ગ્રામનું દળ જોડાયેલું છે. ત્રણેય સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે?

જાણીતા:

વસંત સ્થિરાંક 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

વસંત સ્થિરાંક 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

વસંત સ્થિરાંક 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm)^-1) = 100 એનએમ^-1

પદાર્થનું દળ (મી) = 400 ગ્રામ = 0.4 કિગ્રા

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s²

પદાર્થનું વજન (w) = mg = (0.4)(10) = 4 ન્યૂટન

જોઈતું હતું: લંબાઈમાં ફેરફાર (Δx)

ઉકેલો:

સમકક્ષ સ્થિરાંક નક્કી કરો:

વસંત 1 (k₁) અને વસંત 2 (k₂) સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે. સમકક્ષ અચળાંક:

k₁₂ = k₁ +k₂ = ૪૦ + ૪૦ = ૮૦ નાઈટ્રોજન/મી

વસંત 3 (k₃) અને વસંત 12 (k₁₂) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમકક્ષ અચળાંક:

૧/કે = ૧/કે₃ + ૧/કિલો₁₂ = ૧/૬ + ૧/૬ = ૨/૬

k = 100/2 = 50 નાઈટ્રોજન/મીટર

ત્રણ સ્પ્રિંગ્સની લંબાઈમાં ફેરફાર નક્કી કરો:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 મીટર = 8 સે.મી.

શ્રેણીમાં સ્પ્રિંગ્સનું સંયોજન એકંદર સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટને કેવી રીતે અસર કરે છે?
- જવાબ: જ્યારે સ્પ્રિંગ્સને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે એકંદર સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક ઘટે છે. સમકક્ષ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંકનો પારસ્પરિક એ વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ સ્થિરાંકોના પારસ્પરિકનો સરવાળો છે: 1/k $=૨૦,૦૦૦/ k ^{1} + ૧/ k ^{2}$ .
જ્યારે ઝરણાને સમાંતર રીતે જોડવામાં આવે છે ત્યારે એકંદર વસંત સ્થિરાંક કેવી રીતે બદલાય છે?
- જવાબ: સ્પ્રિંગ્સને સમાંતર રીતે જોડવાથી એકંદર સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ મળે છે જે વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટનો સરવાળો છે: k $= k_{1} + k_{2}$ .

જો બે સરખા સ્પ્રિંગ્સ શ્રેણીમાં ગોઠવાયેલા હોય, તો સંયુક્ત સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ એક જ સ્પ્રિંગના સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ સાથે કેવી રીતે સરખાવાય છે?
- જવાબ: સંયુક્ત સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ એક વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગના સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટનો અડધો ભાગ હશે.

જ્યારે બળ લાગુ કરવામાં આવે છે ત્યારે શ્રેણીમાં સ્પ્રિંગ્સના વિસ્તરણ અથવા સંકોચનનું શું થાય છે?
- જવાબ: શ્રેણીના સ્પ્રિંગ્સ માટે, સમાન બળ દરેક સ્પ્રિંગને વિસ્તૃત અથવા સંકુચિત કરે છે, પરંતુ કુલ વિસ્તરણ (અથવા સંકોચન) એ વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ્સના વિસ્તરણ (અથવા સંકોચન) નો સરવાળો છે.

જો સમાંતર ઝરણા બળને આધિન હોય, તો તે બળ કેવી રીતે વિતરિત થાય છે?
- જવાબ: સમાંતર સ્પ્રિંગ્સ માટે, તેમના સ્પ્રિંગ સ્થિરાંકોના આધારે સ્પ્રિંગ્સ વચ્ચે બળનું વિતરણ કરવામાં આવે છે. ઉચ્ચ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક ધરાવતા સ્પ્રિંગ્સ ઓછા સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક ધરાવતા સ્પ્રિંગ્સ કરતાં વધુ બળ સહન કરશે.
શ્રેણીના સ્પ્રિંગ્સને લાંબી લંબાઈવાળા એક જ સ્પ્રિંગ તરીકે કેમ વિચારી શકાય?
- જવાબ: શ્રેણીબદ્ધ સ્પ્રિંગ્સનો સંયુક્ત પ્રભાવ એક લાંબા સ્પ્રિંગને ખેંચવા જેટલો જ હોય છે. વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ્સના વિસ્તરણ અથવા સંકોચનનો ઉમેરો થાય છે, જેમ કે લાંબા સિંગલ સ્પ્રિંગમાં થાય છે.

સમાન પ્રયોજિત બળ માટે સમાંતર સ્પ્રિંગ્સમાં શ્રેણીબદ્ધ સ્પ્રિંગ્સમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જાની તુલના કેવી રીતે થાય છે?
- જવાબ: શ્રેણીબદ્ધ સ્પ્રિંગ્સ સમાન પ્રયોજિત બળ માટે સમાંતર સ્પ્રિંગ્સ કરતાં વધુ સ્થિતિજ ઊર્જા સંગ્રહિત કરે છે કારણ કે તેઓ વધુ સંયુક્ત વિસ્તરણ અથવા સંકોચનમાંથી પસાર થાય છે.
જો સમાંતર રૂપરેખાંકનમાંનો એક સ્પ્રિંગ તૂટી જાય અથવા બિનઅસરકારક બની જાય, તો સિસ્ટમના એકંદર વર્તનનું શું થાય છે?
- જવાબ: જો સમાંતર રૂપરેખાંકનમાં એક સ્પ્રિંગ તૂટી જાય, તો બાકીના સ્પ્રિંગ હજુ પણ કાર્ય કરશે. જો કે, સિસ્ટમનો એકંદર સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક ઘટશે, અને સિસ્ટમ પહેલા જેટલી પુનઃસ્થાપન શક્તિનો ઉપયોગ કરી શકશે નહીં.

સમાન લાગુ બળ માટે સમાંતર સ્પ્રિંગ્સ કરતાં શ્રેણીમાં સ્પ્રિંગ્સ મોટા વિકૃતિઓ માટે કેમ વધુ સંવેદનશીલ હોય છે?
- જવાબ: શ્રેણીબદ્ધ સ્પ્રિંગ્સ માટે, દરેક સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ કાર્ય કરે છે, જેના કારણે દરેક સ્પ્રિંગ વિસ્તરે છે અથવા સંકુચિત થાય છે. કુલ વિકૃતિ એ વ્યક્તિગત વિકૃતિઓનો સરવાળો છે. સમાંતર રીતે, બળ સ્પ્રિંગ્સ વચ્ચે વહેંચાયેલું છે, તેથી દરેક સ્પ્રિંગ્સ ઘટેલા અસરકારક બળનો અનુભવ કરે છે, જેના કારણે નાના વ્યક્તિગત વિકૃતિઓ થાય છે.
વ્યવહારિક ઉપયોગોમાં, ઇજનેરો શ્રેણીમાં નહીં પણ સમાંતરમાં સ્પ્રિંગ્સનો ઉપયોગ કરવાનું શા માટે પસંદ કરી શકે છે?

જવાબ: એન્જિનિયરો ઉચ્ચ એકંદર સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ પ્રાપ્ત કરવા માટે સમાંતર સ્પ્રિંગ્સ પસંદ કરી શકે છે, જેના પરિણામે કડક વર્તન થાય છે. આ સેટઅપ રિડન્ડન્સી પણ પ્રદાન કરી શકે છે; જો એક સ્પ્રિંગ નિષ્ફળ જાય, તો સિસ્ટમ કાર્ય કરવાનું ચાલુ રાખે છે, જોકે એકંદર સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટમાં ઘટાડો થાય છે.