કઠોર પદાર્થોનું પરિભ્રમણ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

એમબળનો ક્ષણ

1. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, 6 મીટર લાંબા બીમ પર ત્રણ બળ કાર્ય કરે છે. ચોખ્ખો ટોર્ક પરિભ્રમણની ધરી તરીકે બિંદુ O ની આસપાસ બીમ ફેરવે છે?

જાણીતા: કઠોર પદાર્થોનું પરિભ્રમણ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો 1

બિંદુ O પર પરિભ્રમણની ધરી.

ફોર્સ ૧ (એફ)₁) = એફ

F ની ક્રિયા રેખા વચ્ચેનું અંતર₁પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₁) = 3 મીટર

ફોર્સ ૧ (એફ)₂) = 2F

F ની ક્રિયા રેખા વચ્ચેનું અંતર₂ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₂) = 2 મીટર

ફોર્સ ૧ (એફ)₃) = 2F

F ની ક્રિયા રેખા વચ્ચેનું અંતર₃ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₃) = 3 મીટર

ઇચ્છિત: ની તીવ્રતા બળનો ક્ષણ

ઉકેલો:

બળ ૧ ની ક્ષણ:

τ₁= એફ₁ r₁ = (એફ)(3) = -3એફ

આ બળનો ક્ષણ 1 બીમ ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી આપણે સોંપીએ છીએ નકારાત્મક હસ્તાક્ષર.

બળ ૧ ની ક્ષણ:

τ₂= એફ₂ r₂ = (2F)(2) = 4F

બળ 2 ની ક્ષણ બીમને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે તેથી આપણે ધન ચિહ્ન સોંપીએ છીએ.

બળ ૧ ની ક્ષણ:

τ₃= એફ₃ r₃30 વગર^o= (2F)(3)(0.5) = 3F

બળના ક્ષણનું પરિણામ:

Στ = τ₁+ τ₂+ τ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

બળના ક્ષણનું મૂલ્ય 4F ન્યૂટન-મીટર છે. બળના ક્ષણના પરિણામે બીમ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવાય છે તેથી આપણે એક ધન ચિહ્ન આપીએ છીએ.

2. α = 30^o, AB ની લંબાઈ = BC = 1 મીટર. બિંદુ A પર પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ બળનો ક્ષણ શું છે?

જાણીતા:

બિંદુ પર પરિભ્રમણની ધરી A.

ફોર્સ ૧ (એફ)₁) = 10 નાઈટ્રોજન

F ની ક્રિયા રેખા વચ્ચેનું અંતર₁પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₁) = ૨.૫ મીટર

ફોર્સ ૧ (એફ)₂) = 10 નાઈટ્રોજન

આ પણ જુઓ ઢાળવાળી સપાટી - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

F ની ક્રિયા રેખા વચ્ચેનું અંતર₂પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₂) = ૨.૫ મીટર

ફોર્સ ૧ (એફ)₃) = 20 નાઈટ્રોજન

F ની ક્રિયા રેખા વચ્ચેનું અંતર₃પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₃) = 2 મીટર

ઇચ્છિત: બળના ક્ષણનું પરિણામ

ઉકેલો:

બળ ૧ ની ક્ષણ:

τ₁= એફ₁ r₁ 30 વગર^o= (10)(1)(0.5) = 5 નાઇટ્રોમીટર

આ બળનો ક્ષણ 1 બીમ ફેરવે છે કાઉન્ટરઘડિયાળની દિશામાં જેથી આપણે એસિગ કરીએહકારાત્મક હસ્તાક્ષર.

બળ ૧ ની ક્ષણ:

τ₂= એફ₂ r₂30 વગર^o= (10)(1)(0.5) = -5 ન્યૂટન મીટર

આ બળનો ક્ષણ 2 બીએ ફેરવે છેm ઘડિયાળની દિશામાં જેથી આપણે એસિગ કરીએn નકારાત્મક હસ્તાક્ષર.

બળ ૧ ની ક્ષણ:

τ₃ = એફ₃ r₃60 વગર^o= (20)(2)(0.5√3) = -20√3 ન્યૂટન મીટર

આ બળનો ક્ષણ 3 બીએ ફેરવે છેm ઘડિયાળની દિશામાં જેથી આપણે એસિગ કરીએનકારાત્મક હસ્તાક્ષર.

બળના ક્ષણનું પરિણામ:

Στ = τ₁ + τ₂+ τ₃

Στ = ૫ – ૫ – ૨૦√૩

Στ = – 20√3 N · મીટર

બળના ક્ષણનું મૂલ્ય 20√3 N m છે. બળના ક્ષણના પરિણામે બીમ ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે તેથી આપણે નકારાત્મક ચિહ્ન આપીએ છીએ.

કઠોર શરીર શું છે અને તે બિન-કઠોર શરીરથી કેવી રીતે અલગ છે?
- જવાબ: કઠોર શરીર એ એક આદર્શ પદાર્થ છે જેમાં બાહ્ય બળો અથવા ટોર્કને ધ્યાનમાં લીધા વિના, શરીરની અંદરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સતત રહે છે. તેનાથી વિપરીત, બિન-કઠોર શરીર વિકૃત થઈ શકે છે, જેનાથી શરીરની અંદરના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર બદલાઈ શકે છે.
કઠોર શરીરની જડતાની ક્ષણ તેના સમૂહ વિતરણ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
- જવાબ: કઠોર શરીરની જડતાની ક્ષણ એ આપેલ ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ ગતિ સામે તેના પ્રતિકારનું માપ છે અને તે શરીરના દળ અને પરિભ્રમણની ધરીની તુલનામાં તેના વિતરણ બંને પર આધાર રાખે છે. તે દરેક તત્વના દળના ઉત્પાદનોના સરવાળા અને પરિભ્રમણની ધરીથી તેના અંતરના વર્ગ દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

ફરતા કઠોર શરીરની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જાનું શું મહત્વ છે?
- જવાબ: પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા એ કઠોર પદાર્થના પરિભ્રમણને કારણે થતી ઊર્જાનું માપ છે. તે જડતાના ક્ષણ અને શરીરના કોણીય વેગ બંને પર આધાર રાખે છે, જે 1/2 દ્વારા આપવામાં આવે છે. $I ω^{2}$ જ્યાં $I$ જડતાનો ક્ષણ છે, અને $ω$ કોણીય વેગ છે.

જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક તેના પર કાર્ય ન કરે તો કણોની સિસ્ટમના કોણીય વેગમાનનું શું થાય છે?
- જવાબ: જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કણોના તંત્ર પર કાર્ય ન કરે, તો તંત્રનો કુલ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. આ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત છે.
સમાંતર-અક્ષ પ્રમેય કઠોર પદાર્થના જડત્વના ક્ષણને શોધવામાં કેવી રીતે મદદ કરે છે?
- જવાબ: સમાંતર-અક્ષ પ્રમેય કોઈપણ અક્ષની સમાંતર અને અંતરની આસપાસ કઠોર શરીરની જડતાની ક્ષણની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. $d$ તે જણાવે છે કે તેના દળના કેન્દ્ર દ્વારા ધરીથી દૂર $I = I_{c m} + m d^{2}$ જ્યાં $I_{c m}$ દળના કેન્દ્રની આસપાસ જડતાની ક્ષણ છે, $m$ કુલ દળ છે, અને $d$ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.

સ્લિપિંગ વગર રોલિંગ અને સ્લિપિંગ સાથે રોલિંગ વચ્ચે શું તફાવત છે?
- જવાબ: જ્યારે કોઈ કઠોર શરીર એક નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ ફરે છે અને સાથે સાથે તે બદલાય છે, ત્યારે શરીર અને સપાટી વચ્ચે કોઈ સંબંધિત ગતિ હોતી નથી, ત્યારે લપસ્યા વિના રોલિંગ થાય છે. લપસ્યા વિના રોલિંગનો અર્થ એ છે કે શરીર અને સપાટી વચ્ચે સંબંધિત ગતિ અથવા સ્લાઇડિંગ હોય છે.
ગતિશીલતાની ત્રિજ્યા જડતાના ક્ષણ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?
- જવાબ: ગતિની ત્રિજ્યા એ એક માપ છે જે વર્ણવે છે કે શરીરનો દળ તેના પરિભ્રમણ ધરીની આસપાસ કેવી રીતે વિતરિત થાય છે. તેને જડતાના ક્ષણ અને દળના ગુણોત્તરના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે અક્ષથી સમાન અંતર પૂરું પાડે છે જ્યાં જડતાના ક્ષણને બદલ્યા વિના તમામ દળ કેન્દ્રિત થઈ શકે છે.

આપેલ ટોર્ક માટે કઠોર શરીરના કોણીય પ્રવેગ પર જડતાના ક્ષણમાં વધારો શું અસર કરે છે?
- જવાબ: આપેલ ટોર્ક માટે, જડતાની ક્ષણ વધારવાથી કોણીય પ્રવેગ ઘટશે, કારણ કે $α = τ/I$ જ્યાં $α$ કોણીય પ્રવેગ છે, $τ$ ટોર્ક છે, અને $I$ જડતાનો ક્ષણ છે.

શું કોઈ કઠોર પદાર્થ પર લાગુ કરાયેલ બળ ટ્રાન્સલેશનલ અને રોટેશનલ ગતિ બંનેનું કારણ બની શકે છે? કેવી રીતે તે સમજાવો.
- જવાબ: હા, કઠોર શરીર પર લાગુ કરાયેલ બળ ટ્રાન્સલેશનલ અને રોટેશનલ ગતિ બંનેનું કારણ બની શકે છે. જો બળ એવા બિંદુ પર લાગુ કરવામાં આવે છે જે દળના કેન્દ્ર સાથે મેળ ખાતું નથી, તો તે શરીરને ટ્રાન્સલેશનલ (રેખીય રીતે ગતિ) અને પરિભ્રમણનું કારણ બની શકે છે. ટ્રાન્સલેશનલ ગતિ ચોખ્ખા બળ દ્વારા નક્કી થાય છે, જ્યારે પરિભ્રમણ ગતિ દળના કેન્દ્રની આસપાસ બળ દ્વારા બનાવેલા ટોર્ક પર આધાર રાખે છે.

જ્યારે ફિગર સ્કેટર પોતાના હાથ શરીરની નજીક ખેંચે છે ત્યારે તે શા માટે ઝડપથી ફરે છે?

જવાબ: પોતાના હાથને શરીરની નજીક ખેંચીને, ફિગર સ્કેટર તેમના જડતાના ક્ષણને ઘટાડે છે. કોણીય ગતિના સંરક્ષણ મુજબ, જો જડતાના ક્ષણમાં ઘટાડો થાય અને કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગુ ન થાય, તો કોણીય વેગ વધવો જ જોઈએ. આમ, સ્કેટર ઝડપથી ફરે છે.

આ પણ જુઓ પ્રવાહી ગતિશીલતા - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

આ પ્રશ્નો અને જવાબો કઠોર પદાર્થોના પરિભ્રમણ સંબંધિત મુખ્ય ખ્યાલોની સમજ પૂરી પાડે છે.