કણો માટે જડતાની ક્ષણ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

કણો માટે જડતાની ક્ષણ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

૧. નીચે આપેલા ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, એક સળિયા દ્વારા જોડાયેલા બે દડા. સળિયાને અવગણો સમૂહબોલ P નું દળ 600 ગ્રામ છે અને બોલ Q નું દળ 400 ગ્રામ છે. શું છે? જડત્વની ક્ષણ AB વિશે સિસ્ટમ વિશે શું?

જાણીતા:

પરિભ્રમણનો અક્ષ AB છે.

m_p = 600 ગ્રામ = 0.6 કિગ્રા, મીટર_q = ૪૦૦ ગ્રામ = ૦.૪ કિલો

r_p = 20 સેમી = 0.2 મીટર, r_q = 50 સેમી = 0.5 મી

જોઈતું હતું: સિસ્ટમની જડતાનો ક્ષણ

ઉકેલો:

હું = મી_p r_p² + મી_q r_q²

I = (0.6 કિગ્રા)(0.2 મીટર)² + (0.4 કિગ્રા)(0.5 મીટર)²

I = (0.6 કિગ્રા)(0.04 મીટર²) + (0.4 કિગ્રા)(0.25 મીટર²)

હું = 0.024 કિલોગ્રામ મીટર² + 0.1 કિગ્રા મી²

હું = 0.124 કિલોગ્રામ મીટર²

2. 2 કિલોગ્રામ દળ ધરાવતો AB નો સળિયો બિંદુ A ની આસપાસ ફરે છે, સળિયાનો જડતાનો ક્ષણ 8 કિલોગ્રામ મીટર છે.². જો સળિયાને O બિંદુ (AO = OB) ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે, તો સળિયાનો જડત્વનો ક્ષણ કેટલો હશે?

જાણીતા:

સળિયા AB (m) નું દળ = 2 કિલો

જો બિંદુ A ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે તો પરિભ્રમણની ત્રિજ્યા (r) = AB ની લંબાઈ = r હોય, તો જડતાનો ક્ષણ (I) = 8 kg m²

ઇચ્છિત: જો બિંદુ O ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે તો પરિભ્રમણની ત્રિજ્યા (r) = AO ની લંબાઈ = OB ની લંબાઈ = 1/2 r થાય, તો સળિયાની જડતાની ક્ષણ કેટલી હશે?

ઉકેલો:

હું = શ્રી.²

૮ કિલો મીટર² = (2 કિલો) આર²

8 એમ² = (2) આર²

r² = 8 એમ² / 2

r² = 4 એમ²

r = 2 મીટર

જો બિંદુ O ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે તો ½ r = 1 મીટર, તો જડતાનો ક્ષણ:

હું = શ્રી.² = (2 કિગ્રા)(1 મીટર)² = (૪ કિલો)(૦.૦૧ મીટર²) = 2 કિગ્રા મીટર²

3. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બે બોલ એક સળિયા દ્વારા જોડાયેલા છે. સળિયાના દળને અવગણો. સિસ્ટમની જડતાની ક્ષણ કેટલી છે.

જાણીતા:

બોલ A (મી) નું દળ_A) = 200 ગ્રામ = 0.2 કિગ્રા

બોલ B (મી) નું દળ_B) = 400 ગ્રામ = 0.4 કિગ્રા

બોલ A અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r_A) = 0

બોલ B અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r_B) = 25 સેમી = 0.25 મીટર

જોઈતું હતું: સિસ્ટમની જડતાની ક્ષણ

ઉકેલો:

બોલ A ની જડતાની ક્ષણ :

I_A = (મી_A)(આર_A²) = (0.2)(0)² = 0

બોલ B ની જડતાની ક્ષણ :

I_B = (મી_B)(આર_B²) = (0.4)(0.25)² = (0.4)(0.0625) = 0.025 કિગ્રા મીટર²

સિસ્ટમની જડતાની ક્ષણ:

હું = હું_A + હું_B = ૩.૨ + ૩૮.૪ = ૪૧.૬ કિગ્રા મીટર² = 25x10^-3 કિલોગ્રામ મી²

4. નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ ચાર કણો, જેનું દળ અલગ અલગ હોય છે. આડી રેખા P ની આસપાસ સિસ્ટમની જડતાનો ક્ષણ નક્કી કરો.

ઉકેલ

પરિભ્રમણની ધરી આડી રેખા P છે.

જાણીતા:

કણ A નું દળ (મી_A) = મી

કણ B નું દળ (m_B) = 2 મીટર

કણ C (મી) નું દળ_C) = 3 મીટર

કણ D (m) નો પાસ_D) = 4 મીટર

કણ A અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r_A) = બી

કણ B અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r_B) = બી

કણ C અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r_C) = 2 બી

કણ D અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r_D) = 2 બી

જોઈતું હતું: આડી રેખા P ની આસપાસ સિસ્ટમની જડતાની ક્ષણ

ઉકેલો:

હું = મી_A r_A² + મી_B r_B² + મી_C r_C² + મી_D r_D²

હું = (મી)(બી)² + (2 મી)(ખ)² + (૪ મી)(૨ બી)² + (૪ મી)(૨ બી)²

હું = mb² + ૨ એમબી² + (૩ મી)(૪ બી²) + (૪ મી)(૪ બી²)

હું = mb² + ૨ એમબી² + ૨ એમબી² + ૨ એમબી²

હું = 31 એમબી²

5. એક સળિયા દ્વારા જોડાયેલા ચાર કણો. સળિયાના દળને અવગણો. કણ m દ્વારા પરિભ્રમણની ધરી વિશે જડતાનો ક્ષણ નક્કી કરો.₁ અને એમ₂, નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે.

જાણીતા

કણ 1 (મી₁) = ૧/૪ કિલો

કણ 2 (મી₂) = ૧/૪ કિલો

કણ 3 (મી₃) = ૧/૪ કિલો

કણ 4 (મી₄) = ૧/૪ કિલો

કણ 1 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₁) = 0

કણ 2 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₂) = 0

કણ 3 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₃) = ૧૦ સેમી = ૧૦/૧૦૦ મીટર = ૧/૧૦ મીટર

કણ 4 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₄) = ૧૦ સેમી = ૧૦/૧૦૦ મીટર = ૧/૧૦ મીટર

જોઈતું હતું: જડતાનો ક્ષણ

ઉકેલો:

હું = મી₁ r₁² + મી₂ r₂² + મી₃ r₃² + મી₄ r₄²

હું = (૧/૪)(૦)² + (૧/૨)(૦)² + (૧/૪)(૧/૧૦)² + (૧/૪)(૧/૧૦)²

હું = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

હું = ૧/૪૦૦ + ૧/૪૦૦

હું = ૫/૧૦

હું = ૧/૨૦૦ કિગ્રા.મી²

1. કણ માટે જડતાનો ક્ષણ શું છે?
   • જવાબ: દળના એક કણ માટે $m$ ના અંતરે $r$ પરિભ્રમણના અક્ષમાંથી, તેની જડતાની ક્ષણ $I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે I=m×r².
2. જડતાના ક્ષણને ઘણીવાર દળના "રોટેશનલ એનાલોગ" તરીકે શા માટે ઓળખવામાં આવે છે?
   • જવાબ: જેમ દળ એ પદાર્થના ગતિમાં થતા ફેરફારો સામે તેના પ્રતિકારનું માપ છે (ન્યુટનના બીજા નિયમને કારણે), તેમ જડત્વનો ક્ષણ એ પદાર્થના પરિભ્રમણ ગતિમાં થતા ફેરફારો સામે તેના પ્રતિકારનું માપ છે.
3. કણનું તેના પરિભ્રમણ ધરીથી અંતર બદલવાથી તેના જડતાના ક્ષણ પર કેવી અસર પડે છે?
   • જવાબ: જડતાનો ક્ષણ પરિભ્રમણના અક્ષથી અંતરના વર્ગના પ્રમાણસર છે. જો તમે અંતર બમણું કરો છો, તો જડતાનો ક્ષણ ચારના ગુણાંકથી વધશે.
4. અંતરનો વર્ગ (r) શા માટે છે?²) સૂત્રમાં ફક્ત અંતરને બદલે જડતાના ક્ષણ માટે વપરાય છે?
   • જવાબ: પરિભ્રમણમાં ગતિ ઊર્જા કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેના કારણે અંતરનો વર્ગ વપરાય છે. પરિભ્રમણ ગતિમાં, પદાર્થનો દરેક કણ તેના દળ અને ધરીથી તેના અંતરના વર્ગ બંનેના આધારે પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જામાં ફાળો આપે છે.
5. જો કોઈ કણનું દળ ત્રણ ગણું કરવામાં આવે અને ધરીથી અંતર સ્થિર રાખવામાં આવે તો તેની જડતાની ક્ષણ કેવી રીતે બદલાય છે?
   • જવાબ: જો દળ ત્રણ ગણું કરવામાં આવે અને અંતર સ્થિર રાખવામાં આવે, તો જડતાનો ક્ષણ પણ ત્રણ ગણો થશે કારણ કે તે દળના સીધા પ્રમાણસર છે.
6. શું કોઈ કણમાં શૂન્ય જડતાનો ક્ષણ હોઈ શકે છે? જો એમ હોય, તો કઈ સ્થિતિમાં?
   • જવાબ: હા, જો કોઈ કણ પરિભ્રમણની ધરી પર સીધો સ્થિત હોય, તો તેની પાસે શૂન્ય જડતાનો ક્ષણ હશે, જે તેનું અંતર બનાવશે $r$ શૂન્ય બરાબર ધરીથી.
7. સમાન દળ અને કદ ધરાવતા વિવિધ પદાર્થો જ્યારે અલગ અલગ ધરી પર ફરે છે ત્યારે તેમની જડતાની ક્ષણો અલગ અલગ કેમ હોય છે?
   • જવાબ: પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ દળનું વિતરણ જડતાની ક્ષણ નક્કી કરે છે. જો બે પદાર્થોનું દળ અને કદ સમાન હોય, તો પણ પરિભ્રમણની ધરીની તુલનામાં તેમના દળનું વિતરણ અલગ અલગ હોઈ શકે છે, જેના કારણે જડતાની ક્ષણો અલગ અલગ હોય છે.
8. શું જડતાનો ક્ષણ સ્કેલર જથ્થો છે કે વેક્ટર જથ્થો?
   • જવાબ: જડત્વનો ક્ષણ એક સ્કેલર જથ્થો છે. જોકે, જટિલ આકાર અને પરિભ્રમણના બહુવિધ અક્ષો ધરાવતા કઠોર પદાર્થો માટે, તેને ટેન્સર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
9. જો બે કણો, તો દરેક દળ $m$, અંતરે સ્થિત છે r_1' અને r₂' પરિભ્રમણ ધરી પરથી, જડતાની સંયુક્ત ક્ષણ કેટલી છે?
   • જવાબ: જડતાનો ક્ષણ અલગ કણો માટે ઉમેરણ છે. આમ, જડતાનો સંયુક્ત ક્ષણ I=m×r₁^{2 '}+ m×r₂^2'.

10. જડતાની ક્ષણ કોણીય ગતિના સંરક્ષણ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?

    • જવાબ: કોણીય વેગમાન $L$ જડતાના ક્ષણનું ઉત્પાદન છે $I$ અને કોણીય વેગ $\omega$, સમીકરણ દ્વારા રજૂ થાય છે $L=I\times \omega$. જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક સિસ્ટમ પર કાર્ય ન કરે, તો કોણીય વેગમાન સ્થિર રહેશે. આનો અર્થ એ થાય કે જો જડતાનો ક્ષણ બદલાય છે (જેમ કે ફિગર સ્કેટર પોતાના હાથમાં ખેંચે છે), તો ગુણાંકને સ્થિર રાખવા માટે કોણીય વેગને સમાયોજિત કરવો આવશ્યક છે.