પોઇસ્યુઇલનું સમીકરણ

તેને પોઇસ્યુઇલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે સ્વર્ગસ્થ જીન લુઇસ મેરી પોઇસ્યુઇલ (૧૭૯૯-૧૮૬૯) દ્વારા શોધાયું હતું. સમજાવ્યા મુજબ, દરેક પ્રવાહીને આદર્શ પ્રવાહી ગણી શકાય. આદર્શ પ્રવાહીમાં સ્નિગ્ધતા હોતી નથી. જો આપણે પાઇપમાં વહેતા આદર્શ પ્રવાહીની કલ્પના કરીએ, તો પ્રવાહીનો દરેક ભાગ સમાન ગતિએ ફરે છે (v). આદર્શ પ્રવાહીથી વિપરીત, વાસ્તવિક પ્રવાહી, અથવા રોજિંદા જીવનમાં આપણે જે પ્રવાહીનો સામનો કરીએ છીએ, તેમાં સ્નિગ્ધતા હોય છે. કારણ કે તેમની સ્નિગ્ધતા હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પાઇપમાં વહેતી વખતે, પ્રવાહીના દરેક ભાગની ગતિ બદલાય છે. મધ્યમાં પ્રવાહીનું સ્તર ઝડપથી ફરે છે (v મોટું છે), જ્યારે પાઇપ સાથે જોડાયેલ પ્રવાહીનું સ્તર ખસતું નથી, ઉર્ફે સ્થિર (v = 0). તેથી, કેન્દ્રથી પાઇપની ધાર સુધી, પ્રવાહીનો દરેક ભાગ અલગ અલગ ગતિએ ફરે છે. તમારા માટે સમજવામાં સરળ બનાવવા માટે, નીચેની છબીનું અવલોકન કરો...

માહિતી:

R = પાઇપ/ટ્યુબની ત્રિજ્યા

v₁ = નળીના કેન્દ્ર/અક્ષમાં પ્રવાહી પ્રવાહ દર

v₂ = r અંતરે પ્રવાહી પ્રવાહ દર₂ ટ્યુબની ધારથી

v₃ = r અંતરે પ્રવાહી પ્રવાહ દર₃ ટ્યુબની ધારથી

v₄ = r અંતરે પ્રવાહી પ્રવાહ દર₄ ટ્યુબની ધારથી

r = અંતર

દરેક પ્રવાહીનો પ્રવાહ દર સમાન રહે તે માટે, કોઈપણ પાઇપ અથવા ટ્યુબના બંને છેડા પર દબાણ તફાવત હોવો જોઈએ જેમાંથી પ્રવાહી વહે છે. અહીં પ્રવાહી દ્વારા, અમારો અર્થ વાસ્તવિક પ્રવાહી છે, જેમ કે પાઇપમાંથી વહેતું પાણી અથવા તેલ, રક્ત વાહિનીઓમાંથી વહેતું લોહી, વગેરે. વાસ્તવિક પ્રવાહીને સરળતાથી વહેવામાં મદદ કરવા ઉપરાંત, દબાણ તફાવત પ્રવાહીને વિવિધ ઊંચાઈએ પાઇપમાં વહેવા દે છે.

માનવ રક્ત પરિભ્રમણના ભૌતિક પાસાઓમાં રસ ધરાવતા ભૂતપૂર્વ ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક જીન લુઇસ મેરી પોઇસ્યુઇલે દબાણ તફાવત, નળીનો ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર અને નળીનું કદ જેવા પરિબળો વાસ્તવિક પ્રવાહીના વેગને કેવી રીતે અસર કરે છે તેની તપાસ કરવા માટે સંશોધન હાથ ધર્યું હતું. જીન લુઇસ મેરી પોઇસ્યુઇલ દ્વારા મેળવેલા પરિણામોને પોઇસ્યુઇલ સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પોઇસ્યુઇલ સમીકરણ અગાઉ મેળવેલા સ્નિગ્ધતા ગુણાંક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. આપણે સ્નિગ્ધતા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે કેસ સમાન છે, જોકે સમાન નથી. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક સમીકરણ મેળવતી વખતે, આપણે બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચે વાસ્તવિક પ્રવાહી સ્તરના પ્રવાહને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, અને પ્રવાહી તાણ બળ (F) ને કારણે ગતિ કરી શકે છે. તફાવત એ છે કે આપણે જે પોઇસ્યુઇલ સમીકરણ મેળવીશું તે વાસ્તવમાં પાઇપ/ટ્યુબમાં વાસ્તવિક પ્રવાહીના પ્રવાહને પ્રભાવિત કરતા પરિબળો દર્શાવે છે, અને પ્રવાહી દબાણના તફાવતને કારણે વહે છે. તેથી, સ્નિગ્ધતા ગુણાંક સમીકરણને ફરીથી ગોઠવવાની જરૂર છે.

દબાણમાં તફાવતને કારણે પ્રવાહી વહે છે (પ્રવાહી ઉચ્ચ દબાણવાળા સ્થળોથી ઓછા દબાણવાળા સ્થળોએ વહે છે), તેથી આપણે F ને p થી બદલીએ છીએ.₁ - પી₂ (p₁ > પી₂).

સ્નિગ્ધતા ગુણાંક માટે સમીકરણ બનાવતી વખતે, આપણે બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેના વાસ્તવિક પ્રવાહી સ્તરના પ્રવાહને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. પ્રવાહીના દરેક ભાગના વેગમાં નિયમિત ફેરફાર l ના અંતરે થાય છે. આ કિસ્સામાં, પ્રવાહી પ્રવાહ દર ટ્યુબની ધરીથી ટ્યુબની ધાર સુધી નિયમિતપણે બદલાય છે. ટ્યુબની ધરી પર પ્રવાહી વધુ ઝડપે વહે છે (v). ધાર તરફ આગળ વધતાં, પ્રવાહી ગતિ ઘટે છે. ટ્યુબની ત્રિજ્યા = ટ્યુબની ધરી અને ટ્યુબની ધાર વચ્ચેનું અંતર = R. પ્રવાહીના દરેક ભાગ અને ટ્યુબની ધાર વચ્ચેનું અંતર = r. પ્રવાહીના દરેક ભાગની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોવાથી અને ટ્યુબની ધારથી તેમનું અંતર પણ બદલાય છે, આપણે તેને આ રીતે લખીએ છીએ:

v₁ = નળીની ધારથી r1 ના અંતરે પ્રવાહીની ગતિ (r1 = R)

v₂ = નળીની ધારથી r2 ના અંતરે પ્રવાહીની ગતિ (r2 < r1)

v₃ = નળીની ધારથી r3 ના અંતરે પ્રવાહીની ગતિ (r3 < r2 < r1)

v₄ = નળીની ધારથી r4 ના અંતરે પ્રવાહીની ગતિ (r4 < r3 < r2 < r1)

…………………………………… ..

vn = નળીની ધારથી rn ના અંતરે પ્રવાહી વેગ (rn < !

પ્રવાહીના દરેક ભાગની સંખ્યા ખૂબ મોટી છે અને આપણે તે ખરેખર કેટલું છે તે પણ બરાબર જાણતા નથી, તેથી તેને n પ્રતીકથી લખવા પૂરતું છે. પ્રવાહીના દરેક ભાગને નળીના અક્ષ (r1 = R) થી નળીની ધાર (rn) સુધી નિયમિતપણે દર (v) માં ફેરફાર થાય છે. નળીના અક્ષ (r1 = R) થી નળીની ધાર (rn) સુધી, પ્રવાહીના દરેક ભાગનો દર ઓછો થાય છે (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

ઉપરોક્ત સમજૂતી પરથી, આપણે ખ્યાલ મેળવી શકીએ છીએ કે R થી rn સુધી, પ્રવાહીનો દર ઘટે છે. પાઇપની લંબાઈ = L. મેળવેલ સમીકરણ છે:

કારણ કે આપણે પ્રવાહી પ્રવાહનો દર (v) ધ્યાનમાં લઈ રહ્યા છીએ, સમીકરણ 2 બને છે:

આ R ત્રિજ્યાવાળા પાઇપથી r ના અંતરે પ્રવાહી પ્રવાહ દર માટેનું સમીકરણ છે. જો તમે ઉપરની છબી જોતી વખતે મૂંઝવણમાં હોવ તો.... કૃપા કરીને નોંધ લો કે પ્રવાહી પાઇપ અથવા ટ્યુબમાં વહે છે, તેથી આપણે પ્રવાહીના વોલ્યુમ પ્રવાહ દરની સમીક્ષા કરવાની જરૂર છે.

ટ્યુબની અંદર એક પ્રવાહી છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે પ્રવાહીને ખૂબ જ નાના ટુકડાઓમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, જ્યાં દરેક ટુકડાનું એકમ ક્ષેત્રફળ dA હોય છે, તે ટ્યુબની ધરીથી દૂર હોય છે અને પ્રવાહ દર v હોય છે. ગાણિતિક રીતે, આ નીચે મુજબ લખી શકાય છે:

dA1 = પ્રવાહી વિભાગ 1, જે નળીના અક્ષથી 1 નું અંતર છે

dA2 = પ્રવાહી વિભાગ 2, જે નળીના અક્ષથી 2 નું અંતર છે

dA3 = પ્રવાહી વિભાગ 3, જે નળીના અક્ષથી 3 નું અંતર છે

..................................

dA n = પ્રવાહી વિભાગ n, જે નળીના અક્ષથી dA n નું અંતર છે

પ્રવાહી ટુકડાઓ એટલા બધા છે કે તેમને ફક્ત n પ્રતીકથી લખવાનું અનુકૂળ છે. દરેક પ્રવાહી ટુકડાનો વોલ્યુમ ફ્લો રેટ ગાણિતિક રીતે નીચે મુજબ લખી શકાય છે:

પ્રવાહીનો દરેક ટુકડો r = 0 થી r = R (R = નળીનો ત્રિજ્યા) ના અંતરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નળીના ધરીથી માપવામાં આવે ત્યારે પ્રવાહીના દરેક ટુકડાનું અંતર બદલાય છે. જો આપણે કેલ્ક્યુલસ (એકીકરણ) સાથે ટિંકચર કરીએ, તો આપણે નળીમાં પ્રવાહીના વોલ્યુમ પ્રવાહ દર માટે સમીકરણ મેળવીશું:

માહિતી:

Q = ડેબિટ

R = પાઇપ અથવા ટ્યુબની આંતરિક ત્રિજ્યા

η = સ્નિગ્ધતા ગુણાંક

P₁ - પી₂ = પાઇપના બે છેડા વચ્ચે દબાણનો તફાવત

L = પાઇપની લંબાઈ

p₁-p₂/L = દબાણ ઢાળ (પ્રવાહી પ્રવાહ હંમેશા ઘટતા દબાણની દિશામાં જાય છે)

ઉપરોક્ત પોઇસ્યુઇલ સમીકરણના આધારે, એવું લાગે છે કે પ્રવાહીનો વોલ્યુમ ફ્લો રેટ, ઉર્ફે ડિસ્ચાર્જ (Q), ટ્યુબની ત્રિજ્યા (R) ના ચોથા ઘાતના પ્રમાણસર છે.₄), દબાણ ઢાળ (p₂ - પી₁ /L) અને સ્નિગ્ધતાના વ્યસ્ત પ્રમાણસર છે. જો નળીની ત્રિજ્યા વધે છે (સ્નિગ્ધતા ગુણાંક અને દબાણ ઢાળ સ્થિર રહે છે), તો પ્રવાહી પ્રવાહ દર 16 ના ગુણાંકથી વધે છે.

પાઈપો, સિરીંજ વગેરે ડિઝાઇન કરવાની મૂળભૂત વિભાવના આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રવાહી સ્રાવ R ના પ્રમાણસર છે₄ (R = ટ્યુબની ત્રિજ્યા). સિરીંજની ત્રિજ્યા અથવા પાઇપની ત્રિજ્યા કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે સોયની ત્રિજ્યા (r x 2) બમણી કરીએ, તો છંટકાવ કરતા પ્રવાહીનું વિસર્જન = અંગૂઠાના દબાણ બળમાં 16 ગણો વધારો કરે છે.

પોઇસ્યુઇલનું સમીકરણ એ પણ દર્શાવે છે કે ત્રિજ્યાની ચોથી ઘાત (r⁴), પાઇપના બે છેડા વચ્ચેના દબાણ તફાવતના વ્યસ્ત પ્રમાણસર છે. ઉદાહરણ તરીકે, શરૂઆતમાં r ની આંતરિક ત્રિજ્યા ધરાવતી રક્ત વાહિનીમાં લોહી વહે છે. જો રક્ત વાહિની સાંકડી થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, r/2 = રક્ત વાહિનીની આંતરિક ત્રિજ્યા 2 ગણી ઓછી થાય છે), તો રક્ત પ્રવાહને પહેલા જેવો બનાવવા માટે 16 ગણો દબાણ તફાવત જરૂરી છે (જેથી સ્રાવ અથવા રક્ત વોલ્યુમ પ્રવાહ દર સ્થિર રહે).