ઝરણાની શ્રેણી-સમાંતર ગોઠવણીનું ઉદાહરણ

શ્રેણી-સમાંતર વસંત વ્યવસ્થાના 4 ઉદાહરણો

1. ત્રણ સરખા સ્પ્રિંગ્સ, દરેકનો સ્થિતિસ્થાપક અચળાંક 200 N/m છે, નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે શ્રેણી અને સમાંતર ગોઠવાયેલા છે. સ્પ્રિંગ એસેમ્બલીના નીચલા છેડાથી એક વજન w લટકાવવામાં આવે છે, જે સ્પ્રિંગ એસેમ્બલીની લંબાઈ 1 સેમી વધારે છે. વજન w નું વજન...
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
દરેક સ્પ્રિંગનો સ્થિરાંક (k₁ = k₂ = k₃) = 200 નાઈટ્રોજન/મીટર
સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈમાં વધારો (x) = 1 સેમી = 0,01 મીટર
પૂછવામાં આવ્યું: ભારનું વજન (w)
જવાબ :
પ્રથમ ગણતરી વસંત સ્થિરાંક સંયોજન.
સ્પ્રિંગ 1 અને સ્પ્રિંગ 2 સમાંતર ગોઠવાયેલા છે. સમકક્ષ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક છે:
k_p = k₁ +k₂ = ૨૦૦ + ૨૦૦ = ૪૦૦ ન્યૂટન/મીટર

સમાંતર ગોઠવણી રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ્સ (k_p) અને વસંત 3 (k₃) શ્રેણીમાં ગોઠવાયેલ. રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક છે:
૧/કે = ૧/કે_p + ૧/કિલો₃ = ૧/૪૦૦ + ૧/૨૦૦ = ૧/૪૦૦ + ૨/૪૦૦ = ૩/૪૦૦
k = 400/3 ન્યૂટન/મીટર
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભારના વજનની ગણતરી કરો હૂકનો નિયમ.
એફ = ડબલ્યુ = કેએક્સ
w = (400/3)(0,01) = 4/3 ન્યૂટન
ભારનું ગુરુત્વાકર્ષણ 4/3 ન્યૂટન છે

2. ચાર સરખા સ્પ્રિંગ્સનો અચળાંક 500 N/m છે, જે શ્રેણી અને સમાંતરમાં ગોઠવાયેલા છે. 20 ન્યૂટનનો ભાર આપવામાં આવે ત્યારે સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈમાં વધારો નક્કી કરો.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
દરેક સ્પ્રિંગનો સ્થિરાંક (k₁ = k₂ = k₃ = k₄) = 500 નાઈટ્રોજન/મીટર
ભારનું વજન (w) = 20 ન્યૂટન
પ્રશ્ન: સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈમાં વધારો (x)
જવાબ :
સૌપ્રથમ સંયુક્ત સ્પ્રિંગ સ્થિરાંકની ગણતરી કરો.
સ્પ્રિંગ 1, સ્પ્રિંગ 2 અને સ્પ્રિંગ 3 સમાંતર ગોઠવાયેલા છે. સમકક્ષ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક છે:
k_p = k₁ +k₂ +k₃ = ૫૦૦ + ૫૦૦ + ૫૦૦ = ૧૫૦૦ ન્યૂટન/મીટર

સમાંતર ગોઠવણી રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ્સ (k_p) અને વસંત 4 (k₄) શ્રેણીમાં ગોઠવાયેલ. રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક છે:
૧/કે = ૧/કે_p + ૧/કિલો₃ = ૧/૪૦૦ + ૧/૨૦૦ = ૧/૪૦૦ + ૨/૪૦૦ = ૩/૪૦૦
k = ૧૫૦૦/૪ = ૩૭૫ ન્યૂટન/મીટર
સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈમાં વધારો નક્કી કરવા માટે હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરો. સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈમાં વધારો નીચે મુજબ છે:
x = F / k = w / k
x = 20 / 375
x = 0,05 મીટર
x = 5 સે.મી

3. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ચાર સરખા સ્પ્રિંગ્સ શ્રેણી અને સમાંતરમાં ગોઠવાયેલા છે. જ્યારે 20 ન્યૂટનનો ભાર આપવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈ 4 સેમી વધે છે. (a) સિસ્ટમનો સંયુક્ત સ્થિરાંક નક્કી કરો. શ્રેણી-સમાંતર ઝરણા (b) દરેક સ્પ્રિંગનો સ્થિરાંક.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ભારનું વજન (w) = 20 ન્યૂટન
સ્પ્રિંગ સિસ્ટમની લંબાઈમાં વધારો (x) = 4 સેમી = 0,04 મીટર
જવાબ :
(એ) સ્પ્રિંગ સિસ્ટમનો સંયુક્ત સ્થિરાંક
k = F / x = w / x
k = 20 / 0,04 = 500 ન્યૂટન/મીટર
(ખ) દરેક વસંતનો સ્થિરાંક
ચારેય સ્પ્રિંગ્સ એકસરખા છે તેથી ચારેય સ્પ્રિંગ્સનો સ્થિરાંક સમાન છે. જો સ્પ્રિંગ્સ 1, 2 અને 3 ને એક જ સ્પ્રિંગ દ્વારા બદલવામાં આવે, તો બે સ્પ્રિંગ્સ હશે, એટલે કે સમાંતર રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ્સ (k_p) અને વસંત 4 (k₄). આ બે સ્પ્રિંગ્સ શ્રેણીમાં ગોઠવાયેલા છે. શ્રેણી સ્થિરાંક નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર છે:
૧/કે = ૧/કે_p + ૧/કિલો₄  
૧/૩૦૦ = ૩/કિલોમીટર_p + ૧/કિલો₄  —- સમીકરણ ૧
k_p આ સ્પ્રિંગ 1, 2 અને 3 માટે સમાંતર ગોઠવાયેલ સ્પ્રિંગ માટેનો રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ છે. ત્રણેય સ્પ્રિંગ સમાન હોવાથી, દરેક સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે અને તેને k અક્ષર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે.
k_p = k₁ +k₂ +k₃
k_p = કે + કે + કે
k_p = 3k —- સમીકરણ 2
k બદલો_p સમીકરણ 1 માં k સાથે_p સમીકરણ 2 માં. k ને પણ બદલો₄ k સાથે
૧/૫૦૦ = ૧/૩ હજાર + ૧/ હજાર
૧/૫૦૦ = ૧/૩ હજાર + ૩/૩ હજાર
૧/૫૦૦ = ૪/૩ હજાર
૩k = (૪)(૫૦૦)
૫૦૦ હજાર = ૧૨
k = 2000 / 3
k = 667 N/m (ગોળાકાર પરિણામ)
તો દરેક સ્પ્રિંગનો સ્થિરાંક k છે₁ = k₂ = k₃ = k₄ = ૭૦ ન્યૂટન/મીટર.

4. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ સ્પ્રિંગ્સ ગોઠવાયેલા છે. દરેક સ્પ્રિંગનો સ્થિરાંક k છે.₁= 100 નાઇટ્રોજન/મીટર, કે₂ = 100 નાઇટ્રોજન/મીટર, કે₃ = 200 N/m. સ્પ્રિંગના તળિયે એક દળ લટકાવવામાં આવે છે જેથી સ્પ્રિંગ એસેમ્બલીની લંબાઈમાં 10 સેમીનો વધારો થાય. જો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 મીટર/સેકન્ડ હોય તો² તો ભારનું દળ... છે.
A. 1 કિગ્રા
બી. ૦.૫ કિગ્રા
સી. ૫૦ કિગ્રા
ડી. ૨.૦ કિગ્રા
ઇ. ૫ કિલો

ચર્ચા:
ડિકેતાહુઈ :
k₁= 100 નાઇટ્રોજન/મીટર, કે₂ = 100 નાઇટ્રોજન/મીટર, કે₃ = ૧૦૦૦ નાઈટ્રોજન/મીટર
x = ૧૦ સેમી = ૦.૧ મીટર
ગ્રામ = 10 મીટર/સેકન્ડ²
પૂછ્યું :
ભારનું દળ (મી) ?
જવાબ :
હૂકના કાયદાનું સૂત્ર :
એફ = કેએક્સ
ડબલ્યુ = કેએક્સ
મિલિગ્રામ = kx
વર્ણન: F = બળ, w = ગુરુત્વાકર્ષણ, m = ભારનું દળ, g = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, k = સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક, x = સ્પ્રિંગ એસેમ્બલીની લંબાઈમાં વધારો
સંયુક્ત સ્પ્રિંગ સ્થિરાંકની ગણતરી કરો :
સ્પ્રિંગ 1 અને સ્પ્રિંગ 2 સમાંતર ગોઠવાયેલા છે. સમકક્ષ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક છે:
k_p = k₁ +k₂ = ૪૦ + ૪૦ = ૮૦ નાઈટ્રોજન/મી
રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ અને સ્પ્રિંગ 3 શ્રેણીમાં ગોઠવાયેલા છે. રિપ્લેસમેન્ટ સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક છે:
૧/કે = ૧/કે_p + ૧/કિલો₃ = ૧/૬ + ૧/૬ = ૨/૬
k = 200/2 = 100 નાઈટ્રોજન/મીટર
ભારના સમૂહની ગણતરી કરો :
મિલિગ્રામ = kx
મીટર (૧૦) = (૧૦૦)(૦.૧)
મીટર (૧૦) = ૧૦
મીટર = ૧૬ / ૨
m = 1 કિગ્રા
સાચો જવાબ A છે.