પેરાબોલિક ગતિનું ઉદાહરણ

પેરાબોલિક ગતિ પ્રશ્નોના 7 ઉદાહરણો

1. એક ગોળી 20 ms ^–1 ની ઝડપે છોડવામાં આવે છે . જો ઉંચાઇ કોણ 60 ^o હોય અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ = 10 ms ^–2 હોય, તો ગોળી તેના ઉચ્ચતમ બિંદુ પર પહોંચે છે...

A. 1 સેકન્ડ

B. 2 સેકન્ડ

C. √3 સેકન્ડ

D. 2√3 સેકન્ડ

ઇ. ૩√૨ સેકન્ડ

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

બુલેટનો પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 20 ms ^–1

ઊંચાઈ કોણ (θ) = 60 ^o C

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગક (g) = 10 ms ^-2

પ્રશ્ન: બુલેટને તેના ઉચ્ચતમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ

જવાબ :

આડી દિશામાં બુલેટનો પ્રારંભિક વેગ (x-અક્ષ):

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0,5) = 10 m/s

ઊભી દિશામાં બુલેટનો પ્રારંભિક વેગ (y-અક્ષ):

v _oy = v _o sin 60 ^o = (20)(0,5√3) = 10√3 m/s

ગોળીને તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે કેટલો સમય લાગે છે તેની ગણતરી કરવા માટે, ગોળી છોડવામાં આવે ત્યારથી તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી તેની ગતિનું પરીક્ષણ કરો. તેના ઉચ્ચતમ બિંદુ પર, ગોળી દિશા ઉલટાવતા પહેલા ક્ષણભર માટે અટકી જાય છે, તેથી તેના ઉચ્ચતમ બિંદુ પર તેનો વેગ શૂન્ય (vty ₌ 0) છે.

બુલેટને તેના ઉચ્ચતમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

v _ty = v _oy + gt

માહિતી:

v _ty = ઊભી દિશામાં બુલેટની અંતિમ ગતિ = ઉચ્ચતમ બિંદુ પર બુલેટની ગતિ = 0 m/s

v _oy = ઊભી દિશામાં ગોળીની પ્રારંભિક ગતિ = 10√3 m/s

g = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ = 10 m/s ²

t = સમય અંતરાલ

બુલેટને તેના ઉચ્ચતમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ:

v _ty = v _oy + gt

૦ = ૧૦√૩ – ૧૦ ટન

૧૦√૩ = ૧૦ ટન

ટી = 10√3 / 10

t = √3 સેકન્ડ

સાચો જવાબ C છે.

2. એક ગોળી V _o ની ગતિ અને α ના ઊંચાઈ કોણ સાથે છોડવામાં આવે છે. ઉચ્ચતમ બિંદુ પર, પછી...

A. ગતિ ઊર્જા શૂન્ય છે

B. મહત્તમ ગતિ ઊર્જા

C. મહત્તમ સંભવિત ઊર્જા

D. કુલ શક્તિ મહત્તમ છે

ઇ. મહત્તમ ગતિ

ચર્ચા

જો કોઈ ગોળીને પ્રારંભિક વેગ v _o અને ઊંચાઈ કોણ α સાથે છોડવામાં આવે, તો ગોળી પેરાબોલામાં ફરે છે. મહત્તમ ઊંચાઈ પર, ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે કારણ કે ગોળી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પર હોય છે. ઉચ્ચતમ બિંદુ પર, ગોળી આડી દિશામાં ફરતી રહે છે કારણ કે ગોળીમાં ગતિ ઊર્જા હોય છે, જોકે તેનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય છે. ગતિ ઊર્જા તેની લઘુત્તમ હોય છે કારણ કે મોટાભાગની ઊર્જા ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

સાચો જવાબ C છે.

૩. ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ગોલકીપર બોલને ટ્રેજેક્ટરીથી કિક મારે છે. અંતર X છે…. (g = 10 ms ^-2 ).

A. 62,5 મી.

બી. ૩૧.૨૫ √ ૨ મીટર

સી. 31,25 મી

ડી. ૨૫ √ ૨ મીટર

પૂર્વ. 25 મી

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 25 m/s

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

કોણ (θ) = 45 ^o

પૂછ્યું: અંતર X

જવાબ :

આડી દિશામાં બોલનો પ્રારંભિક વેગ:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0,5 √ 2 ) = 12,5 √ 2 m/s

ઊભી દિશામાં બોલનો પ્રારંભિક વેગ:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0,5 √ 2) = 12,5 √ 2 m/s

પેરાબોલિક ગતિ એ આડી અને ઊભી ગતિનું મિશ્રણ છે. તેથી, પેરાબોલિક ગતિનું વિશ્લેષણ એ રીતે કરવામાં આવે છે જાણે કે તે બે અલગ ગતિથી બનેલી હોય. આડી ગતિનું વિશ્લેષણ એકસમાન રેખીય ગતિ તરીકે કરવામાં આવે છે , અને ઊભી ગતિનું વિશ્લેષણ ઉપર તરફ ઊભી ગતિ તરીકે કરવામાં આવે છે.

હવામાં બોલનો સમય અંતરાલ (t):

સૌપ્રથમ, બોલને પેરાબોલા સાથે ખસેડવા માટેનો સમય અંતરાલ ગણતરી કરો. સમય અંતરાલની ગણતરી ઉપરની તરફ ઊભી ગતિ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

ઉપરની તરફ ઊભી ગતિ પર સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં, ઉપર તરફ નિર્દેશિત વેક્ટર જથ્થાને સકારાત્મક સંકેત આપવામાં આવે છે, અને નીચે તરફ નિર્દેશિત વેક્ટર જથ્થાને નકારાત્મક સંકેત આપવામાં આવે છે.

તે જાણીતું છે કે:

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 12,5 √ 2 m/s (ધન કારણ કે પ્રારંભિક વેગની દિશા ઉપરની તરફ છે)

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = -10 m/s ² (ઋણ કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગની દિશા નીચે તરફ છે)

ઊંચાઈ (h) = 0 (જ્યારે બોલ તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ફરે છે, ત્યારે બોલની ઊંચાઈમાં ફેરફાર શૂન્ય હોય છે)

પ્રશ્ન: સમય અંતરાલ (t) જે દરમિયાન બોલ પેરાબોલા સાથે ફરે છે.

જવાબ :

_{v o , g, h અને પૂછેલ t} આપેલ છે જેથી ઊભી ઉપરની ગતિ માટે વપરાયેલ સૂત્ર h = v _o t + 1/2 gt ^{​​2 છે.}

h = v _o t + 1/2 gt ^​​2

૦ = ( ૧૨.૫ √ ૨ ) ટ + ૧/૨ (-૧૦) ટ ^૨

૦ = ૧૨.૫ √ ૨ ટન – ૫ ટન ^૨

૧૨.૫ √ ૨ ટન = ૫ ટન ^૨

૧૨.૫ √ ૨ = ૫ ટન

ટી = ૧૨.૫ √ ૨ / ૫

t = 2,5 √ 2 સેકન્ડ

બોલ (X) દ્વારા પહોંચેલ આડું અંતર :

આડી અંતરની ગણતરી સમાન રેખીય ગતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

તે જાણીતું છે કે:

ઝડપ (v) = 12,5 √ 2 મીટર/સેકન્ડ

સમય અંતરાલ (t) = 2,5 √ 2 સેકન્ડ

પૂછ્યું: અંતર

જવાબ :

s = vt = ( 12,5 √ 2 )( 2,5 √ 2 ) = ( 12,5 )( 2,5 )(2) = 62,5 મીટર

સાચો જવાબ A છે.

4. ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ગોળી પ્રક્ષેપણ સાથે છોડવામાં આવે છે (g = 10 ms ^-2 )

ગોળી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે...

A. 5 મી.

બી. ૧૦ મી.

સી. 20 મી

ડી. 25 મી

પૂર્વ. ૩૦ મી.

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 20 m/s

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

કોણ (θ) = 30 ^o

પૂછવામાં આવ્યું: મહત્તમ ઊંચાઈ (કલાક મહત્તમ)

જવાબ :

પહેલા ઊભી દિશામાં પ્રારંભિક વેગની ગણતરી કરો (v _oy ):

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0,5) = 10 m/s

ઊભી દિશામાં (v _oy ) પ્રારંભિક વેગ મૂલ્ય મેળવ્યા પછી , હવે ઉપરની તરફ ઊભી ગતિમાં મહત્તમ ઊંચાઈની ગણતરી કરતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ ઊંચાઈની ગણતરી કરો . ઉપરની તરફ ઊભી ગતિના પ્રશ્નો ઉકેલવામાં, ઉપર તરફ નિર્દેશિત વેક્ટર જથ્થાને ધન ચિહ્ન આપવામાં આવે છે, અને નીચે તરફ નિર્દેશિત વેક્ટર જથ્થાને ઋણ ચિહ્ન આપવામાં આવે છે.

તે જાણીતું છે કે:

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = -10 m/s ² (ઋણ કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગની દિશા નીચે તરફ છે)

ઊભી દિશામાં પ્રારંભિક વેગ (v _oy ) = 10 m/s (ધન કારણ કે વેગની દિશા ઉપરની તરફ છે)

_{મહત્તમ ઊંચાઈ (v ty} ) પર ગતિ = 0

મહત્તમ ઊંચાઈ પર, પદાર્થ થોડીવાર માટે સ્થિર રહે છે અને પછી પાછો નીચે ખસે છે. તેથી મહત્તમ ઊંચાઈ પર, પદાર્થનો વેગ શૂન્ય હોય છે.

ઇચ્છિત: મહત્તમ ઊંચાઈ (ક)

જવાબ :

કારણ કે જાણીતા જથ્થાઓ v _oy , g અને v _{ty છે} , જ્યારે પૂછવામાં આવેલ રકમ h છે, તેથી ઉપરની તરફ ઊભી ગતિ માટે વપરાયેલ સૂત્ર છે:

v _t ² = v _o ² + 2 ઘ

વર્ણન: v _t = અંતિમ ગતિ, v _o = પ્રારંભિક ગતિ, g = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ, h = મહત્તમ ઊંચાઈ.

મહત્તમ ઊંચાઈ:

v _t ² = v _o ² + 2 ઘ

૦ ^૨ = ૨ ^૨ + ૨ (-૧૦) ક

૦ = ૪ – ૨૦ કલાક

૧૦૦ = ૨૦ કલાક

ક = ૧/૨

h = 5 મીટર

મહત્તમ ઊંચાઈ ૧.૨૫ મીટર છે.

સાચો જવાબ A છે.

૫. એક વ્યક્તિ ૨૦ મીટરની ઊંચાઈએ બોલ પકડે છે અને પછી તેને ૫ મીટર/સેકન્ડની શરૂઆતની ગતિએ આડી રીતે આગળ ફેંકે છે. નક્કી કરો:
(a) બોલને જમીન પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
(b) બોલ દ્વારા પહોંચેલ સૌથી મોટું આડું અંતર
(c) જ્યારે બોલ જમીન પર અથડાશે ત્યારે તેની ગતિ

ચર્ચા

(a) બોલને જમીન પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ (t)
ઉકેલ એ છે કે મુક્ત પતનમાં હોય તેવી વસ્તુ માટે સમય અંતરાલ નક્કી કરવો.

(b) બોલ (ઓ) દ્વારા પહોંચેલ સૌથી મોટું આડું અંતર

તે જાણીતું છે કે:
v_ox = 5 મીટર/સેકન્ડ (આડી દિશામાં પ્રારંભિક ગતિ)
t = 2 સેકન્ડ (હવામાં બોલનો સમય અંતરાલ)
પૂછ્યું: s
જવાબ :
v = s/t
s = vt = (5)(2) = 10 મીટર
(c) જ્યારે બોલ જમીન પર અથડાશે ત્યારે તેની ગતિ (v_t)
v_ox = વી_tx = વી_x = 5m/s
v_ty =…. ?
ઊભી દિશામાં અંતિમ વેગની ગણતરી મુક્ત પતન ગતિમાં અંતિમ વેગની ગણતરી કરતી વખતે કરવામાં આવે છે.
તે જાણીતું છે: v_oy = 0, g = 10, h = 20
પૂછ્યું: વી_t
જવાબ :

6. બોલને 30 ના ખૂણા પર લાત મારવામાં આવે છે^o 10 મીટર/સેકન્ડની પ્રારંભિક ગતિ સાથે ખેતરની સપાટી સામે. નક્કી કરો:
(a) મહત્તમ ઊંચાઈ
(b) મહત્તમ ઊંચાઈએ બોલની ગતિ
(c) બોલને મેદાનની સપાટી પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
(d) બોલ દ્વારા પહોંચેલ સૌથી મોટું આડું અંતર

ચર્ચા

(a) મહત્તમ ઊંચાઈ
આ ઉકેલ ઉપરની તરફ ઊભી ગતિમાં મહત્તમ ઊંચાઈ નક્કી કરવા જેવો છે.
તે જાણીતું છે કે:
v_o = 10m/s
v_oy = વી_o પાપ ૩૦ = (૧૦)(૦.૫) = ૫ મી/સેકન્ડ
ગ્રામ = -10 મીટર/સેકન્ડ²
v_ty = 0
પૂછવામાં આવ્યું: મહત્તમ h
(b) મહત્તમ ઊંચાઈએ બોલની ગતિ
મહત્તમ ઊંચાઈ પર ગતિ = આડી દિશામાં ગતિ = v_x.
v_x = વી_o કોસ ૩૦ = (૧૦)(૦.૮૭) = ૮.૭ મી/સેકન્ડ
(c) સમય અંતરાલ
ઉકેલ ઉપરની તરફ ઊભી ગતિ માટે સમય અંતરાલ નક્કી કરવા જેવો છે.
તે જાણીતું છે કે:
v_oy = વી_o પાપ ૩૦ = (૧૦)(૦.૫) = ૫ મી/સેકન્ડ
ગ્રામ = -10 મીટર/સેકન્ડ²
એચ = 0
પૂછ્યું: ટી
જવાબ :
(d) સૌથી દૂરનું આડું અંતર
x = વી_x t = (8,7)(1) = 8,7 મીટર

7. બોલ 10 મીટર ઊંચી ઇમારતની ધાર પરથી ફેંકવામાં આવે છે, જે 30°નો ખૂણો બનાવે છે.^o 10 મીટર/સેકન્ડની પ્રારંભિક ગતિ સાથે આડી દિશામાં.
(a) જમીનના સ્તરથી માપવામાં આવતી મહત્તમ ઊંચાઈ
(b) બોલને જમીન પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
(c) ઇમારતની ધારથી માપવામાં આવેલું સૌથી દૂરનું આડું અંતર

ચર્ચા
(a) જમીનના સ્તરથી માપવામાં આવતી મહત્તમ ઊંચાઈ
આ ઉકેલ ઉપરની તરફ ઊભી ગતિમાં મહત્તમ ઊંચાઈ નક્કી કરવા જેવો છે.
જે ઇમારત પરથી બોલ ફેંકવામાં આવે છે તેની ધારથી માપવામાં આવેલા બોલની ઊંચાઈની ગણતરી કરો.. બોલ ફેંકાયા પછી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી તેની ગતિવિધિની સમીક્ષા કરો.
તે જાણીતું છે કે:
v_o = 10m/s
v_oy = વી_o 30 વગર^o = (10)(0,5) = 5 મીટર/સેકન્ડ
v_ty = 0 (મહત્તમ ઊંચાઈ પર, પદાર્થ એક ક્ષણ માટે સ્થિર હોય છે)
ગ્રામ = -10 મીટર/સેકન્ડ²
પૂછ્યું: હ

(b) બોલને જમીન પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
આ ઉકેલ ઉપરની તરફ ઊભી ગતિ માટે સમય અંતરાલ નક્કી કરવા જેવો જ છે. બોલ ફેંકાયાની ક્ષણથી તે જમીન પર પહોંચે ત્યાં સુધી તેની ગતિ ધ્યાનમાં લો.
તે જાણીતું છે કે:
v_o = 10m/s
v_oy = વી_o 30 વગર^o = (10)(0,5) = 5 મીટર/સેકન્ડ
ગ્રામ = -10 મીટર/સેકન્ડ²
h = -10 મીટર (અંતિમ સ્થિતિ પ્રારંભિક સ્થિતિથી 10 મીટર નીચે છે)
પૂછ્યું: ટી

સમયનું ઋણ મૂલ્ય હોવું અશક્ય છે, તેથી t = 2 સેકન્ડ.
(c) ઇમારતની ધારથી સૌથી દૂરનું આડું અંતર માપવામાં આવે છે
v_o = 10m/s
v_x = વી_ox = વી_o કોસ ૩૦ = (૧૦)(૦.૮૭) = ૮.૭ મી/સેકન્ડ
t = 2 સેકન્ડ
સૌથી દૂરનું આડું અંતર:

s = v _x t = (8,7)(2) = 17,4 મીટર

પેરાબોલિક ગતિ / અસ્ત્ર ગતિ વિશે પ્રશ્નો

૫. એક વ્યક્તિ ૨૦ મીટરની ઊંચાઈએ બોલ પકડે છે અને પછી તેને ૫ મીટર/સેકન્ડની શરૂઆતની ગતિએ આડી રીતે આગળ ફેંકે છે. નક્કી કરો:
(a) બોલને જમીન પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
(b) બોલ દ્વારા પહોંચેલ સૌથી મોટું આડું અંતર
(c) ગોળી જમીન પર અથડાતી વખતે તેની ગતિ
g = 10 m/s વાપરો²
જવાબ :
(a) t = 1 સે
(b) s = 2 મીટર
(c) v_t = 10,2m/s

2. બોલને 60 ના ખૂણા પર લાત મારવામાં આવે છે^o 5 મીટર/સેકન્ડની પ્રારંભિક ગતિ સાથે ખેતરની સપાટી સામે. નક્કી કરો:
(a) મહત્તમ ઊંચાઈ
(b) મહત્તમ ઊંચાઈએ બોલની ગતિ
(c) બોલને મેદાનની સપાટી પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
(d) બોલ દ્વારા પહોંચેલ સૌથી મોટું આડું અંતર
g = 10 m/s વાપરો²
જવાબ :
(a) h = 1 મીટર (ગોળાકાર)
(b) v = v_x = 2,5m/s
(c) t = 0,87 સે
(d) x = 2,175 મીટર
3. બોલ 5 મીટર ઊંચી ઇમારતની ધાર પરથી ફેંકવામાં આવે છે, જે 60°નો ખૂણો બનાવે છે.^o 5 મીટર/સેકન્ડની પ્રારંભિક ગતિ સાથે આડી દિશામાં.
(a) જમીનના સ્તરથી માપવામાં આવતી મહત્તમ ઊંચાઈ
(b) બોલને જમીન પર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ
(c) ઇમારતની ધારથી સૌથી દૂરનું આડું અંતર માપવામાં આવે છે
g = 10 m/s વાપરો²
જવાબ :
(a) h = 5,95 મીટર
(b) t = 1,5 સેકન્ડ
(c) x = 3,75 મીટર

પ્રશ્ન સ્ત્રોત:

સિનિયર હાઇ સ્કૂલ/વોકેશનલ હાઇ સ્કૂલ માટે રાષ્ટ્રીય પરીક્ષા ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નો