Teorema de Torricelli: problemas e solucións

Teorema de Torricelli: problemas e solucións

1. Un tubo cunha altura de 100 cm cheo de auga. Un burato Q está situado a 10 cm do chan. Cal é a distancia horizontal (x)?

Coñecido:

Distancia entre o burato e a superficie da auga (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Aceleración debida á gravidade (g) = 10 m/s²

Quería: Distancia de x

Solución:

A velocidade do fluxo de auga no burato

v = velocidade, g = aceleración debida á gravidade, h = distancia entre o burato e a superficie da auga

A velocidade do fluxo de auga no burato:

Tempo no aire

O movemento da auga dende o burato ata o chan é o movemento do proxectilO movemento do proxectil podería comprenderse analizando os compoñentes horizontal e vertical do movemento por separado. O movemento x ocorre a unha velocidade constante e o movemento y ocorre a unha aceleración da gravidade constante.

Neste problema, movemento vertical analizado como movemento de caída libre.

Calcula o tempo no aire usando a ecuación da movemento de caída libre.

Coñecido:

A altura do burato (y) = 10 cm = 0.1 m

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/s²

Buscase: Intervalo de tempo (t)

Solución:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 segundos

A distancia horizontal (x):

Coñecido:

A velocidade inicial (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Tempo no aire (t)= √0.02 segundos

Buscase: A distancia horizontal (x)

Solución:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metros

2. Un tanque que contén auga cunha altura de 1 metro. No punto P hai un burato. Cal é a velocidade do fluxo de auga no burato? A aceleración da gravidade é de 10 m/s².

Coñecido:

Distancia entre o burato e a superficie da auga (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/s²

Quería: Velocidade do fluxo de auga no burato (v)

Solución:

A velocidade do fluxo de auga no burato:

3. Unha granbañeira electrónica contén auga e hai unha billa como se mostra na imaxe de abaixo. Se g = 10 ms^-2, entón a velocidade da auga que sae da billa é…

Coñecido:

Altura (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metros

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/s²

Quería: Velocidade da auga (v)

Solución:

TO teorema de Orricelli afirma que a velocidade da auga a través dun burato a unha distancia h da superficie da auga é igual á velocidade de caída libreing auga desde unha altura de h.

A velocidade da auga calcúlase coa fórmula do movemento de caída librea v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A bañeira cheo de auga e nunha parede hai un burato (véxase figura de abaixo). A velocidade da auga que sae polo burato é… (g = 10 ms^-2)

Coñecido:

Altura (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metros

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/s²

Buscase: Svelocidade da auga (V)

Solución:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Un tanque que contén auga de ata 1 metro de altura (g = 10 ms^-2) e na parede hai un burato de fuga (ver figura de abaixo). A velocidade da auga que sae polo burato é...

Coñecido:

Altura (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metros

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/s²

Buscase: Svelocidade da auga (V)

Solución:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Que describe o teorema de Torricelli?
   • Resposta: O teorema de Torricelli relaciona a velocidade do fluído que sae dun orificio coa altura da columna de fluído por riba da abertura, supoñendo un fluxo estacionario, non viscoso (sen viscosidade) e incompresible.
2. Como se expresa matematicamente o teorema de Torricelli?
   • Resposta: O teorema exprésase como v=√2gh​, Onde $v$ é a velocidade do fluxo, $g$ é a aceleración debida á gravidade e $h$ é a altura da columna de fluído por riba do orificio.
3. Baixo que supostos se derivou o teorema de Torricelli?
   • Resposta: O teorema asume que o fluído é incompresible e non viscoso, que o fluxo é estacionario e que non se lle engade nin se lle quita enerxía adicional.
4. Se un recipiente ten dous buratos a diferentes profundidades, como se compararán as velocidades dos fluídos que saen dos buratos?
   • Resposta: O fluído que sae do burato máis preto da base terá unha velocidade maior que o fluído do burato máis alto. Isto débese a que a presión (e, polo tanto, a enerxía potencial) é maior a profundidades máis profundas.
5. Por que a velocidade de saída non depende da forma nin da área da sección transversal do recipiente?
   • Resposta: O teorema de Torricelli só considera a enerxía potencial debida á altura da columna de fluído por riba do orificio. A forma do recipiente non cambia esta altura, polo que a velocidade de saída permanece igual.
6. En que se diferencia a velocidade real do fluído que sae dun orificio da predición feita polo teorema de Torricelli en situacións do mundo real?
   • Resposta: En situacións do mundo real, factores como a viscosidade do fluído, a turbulencia e a forma do orificio poden afectar a velocidade real, facendo que a miúdo sexa menor que a que predí o teorema de Torricelli.
7. Cal é a relación entre o teorema de Torricelli e a conservación da enerxía?
   • Resposta: O teorema de Torricelli derívase da conservación da enerxía mecánica. Iguala a enerxía potencial na superficie do fluído coa enerxía cinética no orificio.
8. Se hai un orificio na parte superior dun recipiente cheo de fluído, como describe o teorema de Torricelli a velocidade de saída?
   • Resposta: A altura $h$ por riba do orificio sería cero, polo que segundo o teorema de Torricelli, a velocidade de expulsión sería cero.
9. Como inflúe a presenza da presión atmosférica nas predicións do teorema de Torricelli?
   • Resposta: O teorema de Torricelli asume que o recipiente está aberto á atmosfera e, polo tanto, a presión atmosférica actúa por igual en toda a superficie do fluído. Esta presión anúlase ao considerar a diferenza de presión en toda a altura do fluído, polo que o teorema segue sendo válido.
10. Que ocorre coa velocidade de saída a medida que diminúe o fluído no recipiente?

• Resposta: A medida que o nivel do líquido diminúe, a altura $h$ por riba do orificio diminúe. Segundo o teorema de Torricelli, a velocidade de saída diminuiría a medida que v=√2gh​.

Estas preguntas e respostas exploran os fundamentos, as implicacións e as aplicacións do teorema de Torricelli na dinámica de fluídos.