Artigo sobre a ecuación de Poiseuilles
A ecuación de Poiseuille foi descuberta por Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Como se explicou, cada fluído pode considerarse un fluído ideal. O fluído ideal non ten viscosidade. Se asumimos que un fluído ideal flúe nunha tubaxe, cada parte do fluído móvese á mesma velocidade (v). A diferenza do fluído ideal, o fluído real que atopamos na vida cotiá ten viscosidade. Debido a que ten viscosidade, entón, ao flúe nunha tubaxe, por exemplo, a velocidade de cada parte do fluído varía. A capa de fluído que está no medio móvese máis rápido (v profunda), pola contra, a capa de fluído unida á tubaxe non se move (v = 0). Entón, desde o medio ata o bordo da tubaxe, cada parte do fluído móvese a velocidades diferentes. Para facilitar a túa comprensión, observa a imaxe seguinte.
R = o raio do tubo/tubo
v1 = caudal de fluído no medio / eixe do tubo
v2 = caudal de fluído r2 dende o bordo do tubo
v3 = caudal de fluído r3 dende o bordo do tubo
v4 = caudal de fluído r4 dende o bordo do tubo
r = distancia
Para que o caudal de cada parte do fluído sexa o mesmo, debe haber unha diferenza de presión en calquera extremo da tubaxe ou en calquera tubo polo que pase o fluído. O que se entende por fluído aquí é un fluído real, por exemplo, auga ou aceite que flúe por unha tubaxe, sangue que flúe nun vaso sanguíneo, etc. Ademais de axudar a que un fluído real flúa suavemente, a diferenza de presión tamén pode facer que os fluídos flúan en tubaxes de diferentes alturas.
Jean Louis Marie Poiseuille, un antigo científico francés interesado nos aspectos físicos da circulación sanguínea humana, investigou como factores como as diferenzas de presión, a área transversal dos tubos e o tamaño dos tubos afectan á taxa real de fluídos. Os resultados obtidos por Jean Louis Marie Poiseuille coñécense como a ecuación de Poiseuille.
A ecuación de Poiseuille pódese derivar coa axuda dunha ecuación do coeficiente de viscosidade que se calculou previamente. Usamos a ecuación de viscosidade porque os casos son similares, aínda que non sexan iguais. Ao derivar a ecuación do coeficiente de viscosidade, revisamos o fluxo da capa de fluído real entre 2 placas paralelas, e o fluído pode moverse debido á atracción (F). A diferenza é que a ecuación de Poiseuille que derivaremos indica os factores que inflúen no fluxo de fluído real na tubaxe/tubo e no fluído que flúe debido á diferenza de presión. Polo tanto, é necesario axustar de novo a ecuación do coeficiente de viscosidade.
O fluído pode fluír debido a unha diferenza de presión (o fluído flúe dun lugar de alta presión a un lugar onde a presión é baixa), entón substituímos F por p1 - páx2 (p1> p2).
Ao derivar a ecuación do coeficiente de viscosidade, revisamos o fluxo da capa de fluído real entre 2 placas paralelas. Cada parte do fluído cambia a súa velocidade regular ata l. Neste caso, o caudal do fluído cambia regularmente desde o eixe do tubo ata o bordo do tubo. O fluído no eixe do tubo flúe a unha velocidade maior (v). Canta maior sexa o bordo, menor será a velocidade do fluído. Radio do tubo = distancia entre o eixe do tubo e o bordo do tubo = R. A distancia entre cada parte do fluído e o bordo do tubo = r. Debido a que a cantidade de cada parte do fluído é enorme e a distancia desde o bordo do tubo tamén é diferente, simplemente escribimos así:
v1 = a velocidade do fluído que está á distancia r1 dende o bordo do tubo (r1 = R)
v2 = a velocidade do fluído que está a unha distancia r2 dende o bordo do tubo (r2 <r1)
v3 = a velocidade do fluído á distancia r3 dende o bordo do tubo (r3 <r2 <r1)
v4 = a velocidade do fluído que está á distancia r4 dende o bordo do tubo (r4 <r3 <r2 <r1)
……………………………………… ..
vn = a velocidade do fluído á distancia rn da beira do tubo (rn <…… <r4 <r3 <r2 <r1)
A cantidade de cada parte do fluído é enorme, e tampouco sabemos exactamente canta cantidade é realmente, polo que abonda con escribila co símbolo n. Cada parte do fluído cambia a velocidade (v) regularmente, desde o eixe do tubo (r1 = R) ata o bordo do tubo (rn). Desde o eixe do tubo (r1 = R) ata o bordo do tubo (rn), a velocidade de cada parte do fluído é menor (v1> v2> v3> v4> ….> vn).
Da explicación anterior, podemos obter unha cifra que indica que de R a rn, o caudal do fluído diminúe. Lonxitude da tubaxe = L. Ecuación obtida:
Porque o que estamos revisando é o velocidade of o fluxo de fluído, entón a ecuación 2 convértese en:
Esta é a ecuación da velocidade do fluxo de fluído na distancia r desde a tubaxe cun radio de R. Se non estás claro ao ver a imaxe de arriba... Ten en conta que o fluído flúe nun tubo, polo que debemos revisar o caudal do volume de fluído.
Dentro do tubo, hai fluído. Por exemplo, dividimos o fluído en partes diminutas, onde cada parte ten unha unidade de área de dA, separada do eixe do tubo e ten unha velocidade de fluxo v. Matematicamente pódese escribir do seguinte xeito:
dA1 = parte fluída 1, que é unha distancia de dr1 do eixo do tubo
dA2 = parte fluída 2, que é unha distancia de dr2 do eixo do tubo
dA3 = parte fluída 3, que é unha distancia de dr3 do eixo do tubo
………………………………….
dAn = parte do fluído n, que é unha distancia dn desde o eixe do tubo
A parte do fluído é moitísima, polo que se escribe simplemente co símbolo n, o que resulta máis práctico. O caudal volumétrico de cada parte do fluído pódese escribir matematicamente do seguinte xeito:
Cada parte do fluído está a unha distancia de r = 0 a r = R (R = radio do tubo). Noutras palabras, a distancia de cada parte do fluído varía cando se mide desde o eixe do tubo. Obteremos a ecuación do caudal volumétrico do fluído no tubo:
Q = Débito, R = raio dun tubo ou tubaxe, η = coeficiente de viscosidade, P1 - páx2 = Diferenza de presión entre os dous extremos da tubaxe, L = lonxitude da tubaxe, p1-p2 / L = Gradiente de presión (o fluxo de fluído sempre vai na dirección da caída de presión)
Baseándose na ecuación de Poiseuille anterior, parece que o caudal do volume de fluído (Q) é proporcional ao raio do tubo (R4), o gradiente de presión (p2 - páx1 /L) e inversamente proporcional á viscosidade. Se se engade o raio do tubo (coeficiente de viscosidade e gradiente de presión fixo), a velocidade do fluxo de fluído aumenta nun factor de 16.
No concepto básico do deseño de tubaxes, utilízase esta ecuación. O caudal de fluído é proporcional a R4 (R = raio do tubo). É necesario calcular coidadosamente o raio dos dedos da xiringa ou do tubo. Por exemplo, se duplicamos o raio da agulla (rx 2), a descarga de líquido que se pulveriza = aumenta a forza de compresión do polgar 16 veces.
A ecuación de Poiseuille tamén mostra que o raio (r4) é inversamente proporcional á diferenza de presión entre os dous extremos do tubo. Por exemplo, o sangue flúe primeiro nun vaso sanguíneo que ten un radio interior de r. Se hai un estreitamento das arterias (por exemplo, r/2 = o radio dos vasos sanguíneos redúcese dúas veces),
entón necesítase unha diferenza de presión de 16 veces para que o sangue flúa como antes (de xeito que a velocidade do fluxo sexa constante).
