Adición de Vectores

Artigo sobre a suma de vectores

1. Magnitudes vectoriais e escalares

Ademais das magnitudes fundamentais e derivadas, as magnitudes físicas aínda se poden dividir en dous tipos máis, concretamente magnitudes escalares e magnitudes vectoriais. Magnitudes como a masa, a distancia, o tempo e o volume son magnitudes escalares, é dicir, magnitudes que só teñen magnitude pero non dirección. Mentres que magnitudes como o desprazamento, a velocidade, a aceleración e a forza son magnitudes vectoriais, é dicir, magnitudes que teñen magnitude e tamén dirección.

a. Diferenza entre scantidade calar e vectorial

Se dis que a masa dunha pelota é de 400 gramos, esta afirmación é suficiente para coñecer a masa da pelota. Non necesitas dirección para descubrir a masa da pelota. Do mesmo xeito ocorre co tempo, a temperatura, o volume, a densidade, etc. Hai varias cantidades físicas que non se poden expresar só en magnitude. Se dis que un neno se move ata 100 metros, entón esta afirmación non é suficiente. Poderías preguntarte, onde se moveu? É cara ao norte, ao sur, ao leste ou ao oeste? Do mesmo xeito, se dis que empurras a mesa cunha forza de 200 N.

Onde conduces? Ben, estas cantidades chámanse cantidades vectoriais, que requiren unha explicación da magnitude e a dirección. Exemplos de cantidades vectoriais son o desprazamento, a aceleración, o impulso, ímpeto, etc. Podes entendelo con maior claridade cando estudes materias relacionadas con esas cantidades.

b. Debuxa un vector

Un vector indícase cunha frecha. A frecha sempre se debuxa de xeito que apunte na dirección do vector. A lonxitude da frecha descríbese como a magnitude do vector. Por exemplo, na figura dun vector de forza (F) cunha magnitude de 2 N cuxa dirección é cara ao nordés ou 45^o arredor do eixe x.

c. R.ules para wcantidades de escritura de vectores

Ao escribir un vector, se se usa a escritura a man, o símbolo dun vector xeralmente escríbese en cursiva con letras maiúsculas e, por riba, débese engadir unha frecha. Para os libros impresos, os símbolos vectoriais escríbense en maiúsculas e en negra, por exemplo, FPara a magnitude do vector, se empregamos a escritura a man, a magnitude dun vector escríbese, por exemplo, |F|. Para os libros impresos, a magnitude dun vector escríbese en cursiva, por exemplo, F.

2. Suma de vectores: métodos gráficos

Hai varias maneiras de sumar vectores graficamente, incluíndo o método da cola á punta e o método do paralelogramo.

a. Método de suma de vectores de cola a punta

Os vectores A e B son coñecidos. O vector A = 3 cm coincide co eixe x (cara ao leste). O vector B = 2 cm forma un ángulo de 30°.^o ao eixe x (cara ao nordés). Suma A e B graficamente usando o método da cola á punta. a) R = A + B b) R = A – B

A magnitude do vector resultante (R) mídese cunha regra. A dirección do vector resultante mídese cun transportador.

Vectores coñecidos A, B e C. O vector A = 3 cm coincide co eixe x (cara ao leste). O vector B = 2 cm forma un ángulo de 30^o ao eixe x (cara ao nordés). O vector C = 1 cm forma un ángulo de 60^o ao eixe x (cara ao nordés). Engade A, B e C graficamente usando o método de cola a punta.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

O vector resultante (R) mídese cunha regra. A dirección do vector resultante mídese cun transportador.

b. Método do paralelogramo

Vectores coñecidos A, B e C. O vector A = 3 cm coincide co eixe x (cara ao leste). O vector B = 2 cm forma un ángulo de 30^o ao eixe x (cara ao nordés). O vector C = 1 cm forma un ángulo de 60^o ao eixe x (cara ao nordés). Suma A, B e C graficamente usando un paralelogramo.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

O vector resultante (R) mídese cunha regra. A dirección do vector resultante mídese cun transportador.

3. Suma de vectores: aanalítico método

Determinar a magnitude e a dirección do vector resultante co método gráfico é unha das opcións. A precisión dos resultados depende da precisión e exactitude ao debuxar e ler a escala. A magnitude e a dirección do vector resultante obtéñense con maior precisión mediante cálculos matemáticos.

a. Calcular a suma de 2 vectores usando a regra do coseno

A fórmula para determinar a magnitude do vector resultante:

A fórmula para determinar a dirección do vector resultante:

C = vector resultante

A = vector 1

B = vector 2

cos ∠(A, B) = ángulo formado polos vectores A e B

Problema de exemplo 1:

F₁ = 2 N forma un ángulo de 30º arredor do eixe x, F₂ = 3 N forma un ángulo de 60^o arredor do eixe x, θ = 30^o.

Problema de exemplo 2:

F₁ = 2 N coincide co eixe x, F₂ = 3 N forma un ángulo de 90^o arredor do eixe x, θ = 90^o.

b. Engadir vectores por compoñentes

Revisa un vector F que forma un certo ángulo arredor do eixe x, como se mostra na figura seguinte. F_x e F_y son vectores compoñentes do vector F.

A magnitude do vector compoñente determínase mediante a fórmula:

F_x = F cos θ

F_y = F sen θ

Revisa os dous vectores F₁ e F₂ que forma un certo ángulo arredor do eixe x, como se mostra na figura seguinte. F_1x e F_1y son compoñentes do vector F₁, polo tanto F_2x e F_2y son compoñentes do vector F₂.

O vector compoñente determínase mediante a fórmula:

F_1x =F₁ cos θ

F_1y =F₁ sen θ

F_2x =F₂ cos θ

F_1y =F₁ sen θ

Engadindo os vectores compoñentes:

F_x =F_1x +F_2x

F_y =F_1y +F_2y

O vector resultante determínase mediante a fórmula:

A dirección do vector resultante determínase mediante a fórmula:

Problema de exemplo 1:

Determina as compoñentes do vector F cuxa magnitude é 20 N e forman un ángulo de 30^o arredor do eixe x.

F_x = (20 N)(cos 30^o) = 17 N

F_y = (20 N)(sen 30^o) = 10 N

Problema de exemplo 2:

F₁ = 20 N forma un ángulo de 30^o arredor do eixe x e F₂ = 15 N forma un ángulo de 180o arredor do eixe x. Determina a magnitude e a dirección do vector resultante.

F_1x = (20 N)(cos 30^o) = 17 N

F_2x =F₁ = – 15 N

F_1y = (20 N)(sen 30^o) = 10 N

F_2y = 0

Engadindo os vectores compoñentes:

F_x =F_1x - F_2x = 17 N – 15 N = 2 N

F_y = 10 N

O vector resultante:

F₂ =F_x² +F_y² = 2² + 10² 4 + 100 = 104

F = 10.2 N

Dirección do vector resultante:

θ = tanxente-15 = 78.7^o arredor do eixe x

Problema de exemplo 3:

F₁, F_2, e F₃ son 20 N, 30 N e 40 N. F₁ forma un ángulo de 60^o arredor do eixe x, F₂ forma un ángulo de 150^o arredor do eixe x e F₃ forma un ángulo de 315^o arredor do eixe x. Determina a magnitude e a dirección do vector resultante.

F_1x = (20 N)(cos 60^o) = 10 N

F_1y = (20 N)(sen 60^o) = 17 N

F_2x = (30 N)(cos 30^o) = -26 N

F_2y = (30 N)(sen 30^o) = 15 N

F_3x = (40 N)(cos 45^o) = 28 N

F_3y = (40 N)(sen 45^o) = -28 N

Engadindo o vector de compoñentes:

F_x =F_1x - F_2x +F_3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F_y =F_1y +F_2y - F_3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Vector resultante:

F² =F_x² +F_y² = 12² + 4² 144 + 16 = 160

F = 13 N

Dirección do vector resultante:

θ = tanxente^-1 0.3 = 17^o arredor do eixe x