Suma de vectores usando compoñentes: problemas e solucións

Suma de vectores usando compoñentes: problemas e solucións

1. Tres vectores como se mostra na figura seguinte.

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V³ = ₄₀

Cales son os vectores resultantes?

Coñecido:

V ₁ = 30°, ángulo entre V ₁ e o eixe x = 30 ^°

V ₂ = 30°, ángulo entre V ₂ e o eixe x = 30 ^°

V3 = 40 _° , ángulo entre V3 _e o eixe x = 0 ^°

Buscado: Os vectores resultantes

Solución:

Compoñentes dos vectores :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positivo porque esta compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita).

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y positivo (cara arriba).

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negativo porque esta compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x negativo (cara á esquerda).

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y positivo (cara arriba).

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita).

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

Os compoñentes dos vectores resultantes:

Vx ₌ V1x _– V2x + V3x _{= 15√3} – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

O vector resultante :

2. Dúas forzas perpendiculares entre si, F1 ₌ 12 N e F2 ₌ 5 N. Cal é a resultante de ambas as forzas?

Coñecido:

Forza 1 (F ₁ ) = 12 Newtons

Forza 2 (F ₂ ) = 5 Newtons

Buscado: Os vectores resultantes ( ΣF)

Solución:

ΣF₂ = _F₁₂ + _F₂₂ = ^12₂ + ^{5₂ = 144} + 25 = ¹⁶⁹

ΣF = √169 = 13 Newtons

3. Tres vectores,

V₁ = 30

V2 = ₃₀

V3 = ₄₀

Determina os vectores resultantes.

Coñecido:

v ₁ = 30, fai 30 ^° arredor do eixe x negativo

v ₂ = 30, fai 30 ^o arredor do eixe x positivo

v ₃ = 40, fai 0 ^o arredor do eixe x positivo

Buscado: Os vectores resultantes

Solución:

Os compoñentes dos vectores:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Negativo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x negativo (cara á esquerda) )

v _1y = v ₁ sen 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y positivo (cara arriba) )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita ) )

v _2y = v ₂ sen 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y positivo (cara arriba). )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita). )

v _3y = v ₃ sen 0 ^o = (40)(0) = 0

Os compoñentes dos vectores resultantes:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

O vector resultante:

4. Cal é a resultante de tres vectores como se mostra na figura seguinte?

Coñecido:

F₁ = 3 Newtons, fai 60^o arredor do eixe x positivo

F2 = 3 Newtons, fai 0 ^{o arredor do} _eixe x negativo

F3 = ₆ Newtons , fai 60 ^° arredor do eixe y negativo

Buscado: O vector resultante

Solución:

Os compoñentes dos vectores:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita ) )

F _1y = F ₁ sen 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y positivo (cara arriba) )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( Negativo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x negativo (cara á esquerda) )

F _2y = F ₂ sen 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita ) )

F _3y = F ₃ sen 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Negativo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y negativo ( cara abaixo ) )

Os compoñentes dos vectores resultantes:

ΣFx ₌ F1x _– F2x + _{F3x = 1.5} N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

O vector resultante:

5. Dúas forzas, F1 = ₁₅ N e F2 _{= 9 N. O ángulo entre ambos vectores é} de 60°. Cal é a resultante dos vectores?

Buscase:

Forza 1 (F1 ₎ = 15 Newtons

Forza 2 (F ₂ ) = 9 Newtons

Ángulo ( θ) = 60 ^°

Buscado: O vector resultante

Solución:

6. Cal é a resultante de tres vectores como se mostra na figura seguinte?

Coñecido:

F₁ = 20 Newton, ángulo entre F₁ e o eixe x = 0

F2 = 20 Newtons, ángulo entre F2 _e o eixe x = 60 _°

F3 = 24 Newtons, ángulo entre F3 _e o eixe x = 60 _°

Buscado: O vector resultante

Solución:

Os compoñentes dos vectores:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x positivo (cara á dereita ).

F _1y = (F ₁ )(sen 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negativo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x negativo (cara á esquerda).

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positivo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y positivo (cara arriba).

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negativo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe x negativo (cara á esquerda).

F₃y = (F₃ ₎ (sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N é negativo porque este compoñente vectorial apunta ao longo do eixe y negativo (cara abaixo )_.

Os compoñentes dos vectores resultantes:

Fx ₌ F1x _– F2x – F3x ₌ 20 – 10 – 12 = _-2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

O vector resultante: