Os vectores non son números ordinarios, polo que a multiplicación ordinaria non se lles pode aplicar directamente. Debemos usar a multiplicación vectorial. Hai dous tipos de multiplicación vectorial: a multiplicación por puntos e a multiplicación cruzada. A multiplicación por puntos tamén se chama multiplicación escalar porque produce unha cantidade escalar. A multiplicación cruzada tamén se chama multiplicación vectorial porque produce unha cantidade vectorial. Por exemplo, hai dous vectores, concretamente A Dan BMultiplicación escalar de vectores A Dan B declarado con AB KDado que a area emprega a notación de puntos, esta multiplicación chámase produto escalarMultiplicación vectorial de A Dan B declarado con A x BPorque usa a notación x, entón esta multiplicación chámase multiplicación cruzada.
Por exemplo, dado o vector A Dan B como se mostra na imaxe de embaixo. O produto escalar entre vectores A Dan B escrito como AB (A punto B).
Para definir o produto escalar de vectores A Dan B (AB), vector representado A e vectores Por yque forma un ángulo θ. A continuación debuxamos a proxección do vector B cara á dirección do vector AEsta proxección é un compoñente do vector B que é paralelo ao vector A, que ten o mesmo tamaño que B cos θ.
Así, definimos AB como un gran vector A multiplicado polos compoñentes vectoriais B que é paralelo a AMatematicamente podemos escribilo do seguinte xeito:
AB cos θ é un número ordinario (escalar). Polo tanto, o produto escalar tamén se chama produto escalar. Que pasa se o produto escalar entre vectores A Dan B invertido a BA ? antes de definirmos BA, primeiro debuxamos a proxección do vector A a vectores B (véxase a imaxe de embaixo).
Baseándonos nesta imaxe, podemos definir BA como un gran vector B multiplicado polos compoñentes vectoriais A que é paralelo a BMatematicamente podemos escribilo do seguinte xeito:
Resultado do produto escalar AB = AB cos θ e o resultado do produto escalar BA = BA cos θPorque AB cos θ = BA cos θ, entón aplícase AB = BA
Algunhas cousas sobre a multiplicación por puntos que debes saber:
1. O produto escalar cumpre a lei conmutativa.
AB = BA
2. O produto escalar cumpre a lei distributiva.
A. (B + C) = AB + AC
3. Se o vector A Dan B perpendiculares entre si, entón o resultado do produto escalar AB = 0
Cando o vector A Dan B perpendiculares entre si, entón o ángulo formado é de 90oCos 90o = 0. Polo tanto: AB = AB cos tía = AB por 90o = 0. Por outra banda, BA = BA cos tía = BA por 90o = 0
4. Se o vector A e vectores B un sentido, maca AB = AB por 0o = AB
Cando o vector A Dan B na mesma dirección, entón o ángulo formado é 0oCos 0 = 1. Polo tanto, AB = AB cos tía = AB por 0o = ABPola contra BA = BA cos tía = BA por 0o = BA
(Non debes confundirte con AB Dan BAGrande AB = grande BAPor exemplo, a magnitude do vector A = 2. magnitude do vector B = 3. entón AB = 2.3 = 6; isto é o mesmo que BA = 3.2 = 6.
5. Outra condición para que dous vectores estean na mesma dirección, se A = B entón obtido AA = A2 ou BB = B2
6. Se o vector A Dan B dirección oposta (cando dous vectores están en direccións opostas, o ángulo formado é de 180º), entón o resultado da multiplicación AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Exemplo de problemas:
Un vector A ten unha magnitude de 4 unidades e é un vector B ten 3 unidades. Determina o produto escalar dos dous vectores se os ángulos formados polos dous vectores son 60º, 90º e 180º.o
Discusión
Porque AB = BA entón podemos escoller usar un. Por exemplo, usamos AB
AB = AB cos tía
Grande A = 4 unidades e grande B = 3 unidades.
