Fórmulas e exemplos de vibración harmónica
A vibración harmónica é un tema clave na física, que aparece con frecuencia en debates sobre o movemento periódico, as ondas e as aplicacións da enxeñaría. Podemos atopala no movemento de resortes, péndulos (para ángulos pequenos) e mesmo na vibración de moléculas na materia. Chámase "harmónica" porque o seu movemento segue un patrón regular e pódese modelar con funcións seno ou coseno. Este artigo trata unha breve definición, fórmulas clave e problemas de exemplo con solucións para axudarnos a comprender o concepto de vibración harmónica.
1. Comprensión das vibracións harmónicas
A vibración harmónica simple (MAS) é o movemento de vaivén dun obxecto máis alá dun punto de equilibrio cunha forza restauradora cuxa magnitude é proporcional ao desprazamento e cuxa dirección é sempre cara ao punto de equilibrio. Matematicamente, as súas características pódense escribir como:
F = −kx
O signo menos indica que a dirección da forza é oposta á dirección da desviación. Se o obxecto é tirado cara á dereita (x positivo), a forza restauradora é cara á esquerda (negativa) e viceversa.
Os dous sistemas que se citan con máis frecuencia como exemplos de GHS son:
1. Sistema resorte-masa (masa ao final do resorte).
2. Péndulo simple (para ángulos pequenos, normalmente < 15°). 2. Magnitudes importantes na vibración harmónica Algunhas magnitudes que sempre aparecen no GHS: - Desviación (x): a distancia do obxecto ao punto de equilibrio (m). - Amplitude (A): a desviación máxima (m). - Período (T): o tempo necesario para unha vibración completa (s). - Frecuencia (f): o número de vibracións por segundo (Hz). - Velocidade angular/frecuencia angular (ω): un parámetro importante na ecuación seno/coseno (rad/s). - Fase (φ): determina as condicións iniciais do movemento. A relación básica entre período e frecuencia: f = 1/T E a relación de ω con T e f: ω = 2πf = 2π/T 3. Ecuación da vibración harmónica A forma xeral de desviación en función do tempo pódese escribir: x(t) = A sen(ωt + φ) ou x(t) = A cos(ωt + φ)
A escolla de sen/cos é igualmente correcta, dependendo das condicións iniciais (por exemplo, en t = 0, a posición está en amplitude ou no punto de equilibrio). Velocidade e aceleración A velocidade é a primeira derivada do desprazamento: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (se x = A sen) ou tamén pode ser negativa segundo a forma inicial. A aceleración é a segunda derivada: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sen(ωt + φ) Dado que x(t) = A sen(ωt + φ), entón: a(t) = −ω² x(t) Esta é unha propiedade clave do GHS: a aceleración é proporcional ao desprazamento e de dirección oposta. Velocidade máxima e aceleración máxima - v_max = Aω - a_max = Aω² A velocidade máxima prodúcese cando o obxecto pasa o punto de equilibrio (x = 0). A aceleración máxima prodúcese cando está en amplitude (x = ±A). 4. Período de vibración en resortes e péndulos A. Resorte-Masa Para un resorte ideal con constante elástica k e masa m: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Isto significa que canto maior sexa a masa, maior será o período (máis lento). Canto maior sexa k (canto máis ríxido sexa o resorte), menor será o período (máis rápido). B. Péndulo simple (ángulo pequeno) Para un péndulo con lonxitude de corda L e aceleración gravitacional g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Curiosamente, na aproximación do ángulo pequeno, o período non depende da masa do péndulo, só depende da lonxitude e da gravidade. 5. Enerxía na vibración harmónica No GHS, a enerxía total permanece constante (se non hai fricción): - Enerxía potencial do resorte: Ep = ½ kx² - Enerxía cinética: Ek = ½ mv² - Enerxía mecánica total: E = Ek + Ep = ½ kA² Cando x = ±A, v = 0, polo que toda a enerxía é potencial. Cando x = 0, Ep = 0 e a enerxía é totalmente cinética. 6. Exemplos de preguntas e debate Exemplo 1: Determinación do período do resorte Unha masa de 0,5 kg colga dun resorte cunha constante k = 200 N/m. Determina o período de vibración! Dado: m = 0,5 kg, k = 200 N/m Pregunta: T Resposta: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
Entón, o período de vibración do resorte é duns 0,314 s. --- Exemplo 2: Determinación da frecuencia e ω A partir da pregunta 1, determine a frecuencia (f) e ω! Resposta: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s (ou directamente ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s) Polo tanto, a frecuencia é duns 3,18 Hz e ω = 20 rad/s. --- Exemplo 3: Ecuación de desviación Un obxecto vibra harmonicamente cunha amplitude de 0,10 m e ω = 5 rad/s. En t = 0, o obxecto está no punto de equilibrio e móvese na dirección positiva. Determine a ecuación de desviación! Dado: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s Condicións iniciais: t = 0 → x = 0 e v inicial é positivo. Se x(0) = 0, a forma axeitada é o seno: x(t) = A sen(ωt) Dado que v(t) = Aω cos(ωt), entón v(0) = Aω cos(0) = Aω é positivo, en consecuencia. Polo tanto: x(t) = 0,10 sen(5t) (metros) --- Exemplo 4: Velocidade máxima e aceleración máxima A partir do exemplo 3, determine v_max e a_max. Resposta: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² Polo tanto, v_max = 0,50 m/s e a_max = 2,5 m/s². --- Exemplo 5: Enerxía nun resorte Un resorte con k = 100 N/m vibra cunha amplitude de A = 0,20 m. Calcula a súa enerxía mecánica total! Resposta: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J A enerxía mecánica total da vibración é de 2 joules. --- Exemplo 6: Período do péndulo Un péndulo simple mide 1 m de longo. Se g = 10 m/s², determina o seu período. Resposta: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s Polo tanto, o período do péndulo é duns 2,0 s. 7. Conclusión A vibración harmónica simple é un movemento periódico fundamental en física. A clave para comprendelo está na relación entre a forza restauradora, que é proporcional ao desprazamento (F = −kx), así como o seu modelo matemático, que segue a función seno/coseno. Ao comprender a fórmula do período para resortes e péndulos, as ecuacións de desprazamento-velocidade-aceleración e o concepto de enerxía, será máis doado para ti traballar en problemas relacionados coas vibracións e as ondas.
Se queres, podo engadir preguntas de práctica adicionais (sen que haxa debate previamente) ou crear unha versión resumida das fórmulas lista para o exame.
