Exemplos de preguntas e debate sobre a distribución de probabilidade
A distribución de probabilidade é un dos conceptos fundamentais da estatística e da probabilidade. Úsase para comprender a probabilidade de que ocorran varios valores dun número aleatorio. As distribucións de probabilidade poden adoptar moitas formas dependendo da natureza dos datos que se analizan. Os dous tipos máis comúns de distribucións de probabilidade son a discreta e a continua. Neste artigo, revisaremos varios problemas de exemplo e discutiremos as distribucións de probabilidade para axudarnos a comprender mellor este tema.
Distribución discreta
Unha distribución discreta é unha distribución que calcula a probabilidade dunha variable aleatoria discreta, é dicir, unha variable que só pode tomar certos valores. Exemplos coñecidos de distribucións discretas son a distribución binomial e a distribución de Poisson.
Exemplo 1: Distribución binomial
A distribución binomial describe o número de éxitos nunha serie de ensaios de Bernoulli. Cada ensaio de Bernoulli ten dous resultados: éxito ou fracaso. A probabilidade de éxito permanece constante ao longo do ensaio.
Pregunta:
Unha compañía farmacéutica está a probar un novo medicamento en 10 pacientes. A probabilidade de que o medicamento funcione en calquera paciente é de 0.7. Calcula a probabilidade de que o medicamento funcione exactamente en 7 de cada 10 pacientes.
Debate:
A variable aleatoria \(X\) segue unha distribución binomial con \(n = 10\) e \(p = 0.7\). A función de probabilidade binomial é:
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}
Para \(k = 7\):
P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Cálculo do coeficiente binomial \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Cálculo de valores de probabilidade:
P(X = 7) = 120 × (0.7)^7 × (0.3)^3
P(X = 7) \approx 120 \times 0.0823543 \times 0.027
\[ P(X = 7) \aprox. 0.231 \]
Entón, a probabilidade de que o fármaco funcione en exactamente 7 de cada 10 pacientes é de aproximadamente 0.231 ou 23.1 %.
Exemplo 2: Distribución de Poisson
A distribución de Poisson utilízase para modelar o número de ocorrencias dun evento raro dentro dun intervalo de tempo ou espazo determinado.
Pregunta:
Unha tenda recibe unha media de 4 clientes por hora. Cal é a probabilidade de que a tenda reciba exactamente 5 clientes nunha hora?
Debate:
A variable aleatoria _(X)_ segue unha distribución de Poisson con parámetro _(λ = 4). A función de masa de probabilidade de Poisson é:
P(X = k) = \frac{λke^{-λ}{k!}
Para \(k = 5\):
P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!}
Conteo:
P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \aprox. 0.156 \]
Entón, a probabilidade de que a tenda reciba exactamente 5 clientes nunha hora é de aproximadamente 0.156, ou o 15.6 %.
Distribución continua
As distribucións continuas utilízanse cando a variable aleatoria que se mide pode tomar calquera valor dentro dun certo rango. Exemplos coñecidos de distribucións continuas son a distribución normal e a distribución exponencial.
Exemplo 3: Distribución normal
A distribución normal, a miúdo chamada distribución gaussiana, é unha distribución que se emprega habitualmente en diversos campos, como a ciencia, a enxeñaría e a economía.
Pregunta:
As alturas dos homes adultos nunha cidade distribúense normalmente cunha media de 170 cm e unha desviación estándar de 10 cm. Cal é a probabilidade de que un home escollido ao chou mida entre 160 cm e 180 cm de altura?
Debate:
Necesitamos calcular a puntuación z para 160 cm e 180 cm. A puntuación z defínese como:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Para \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Para \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Agora temos que analizar os valores de probabilidade de -1 a 1 na táboa z. O valor de z = -1 a z = 1 é aproximadamente 0.6826.
Entón, a probabilidade de que un home escollido ao chou mida entre 160 cm e 180 cm de altura é de aproximadamente 0.6826 ou 68.26 %.
Exemplo 4: Distribución exponencial
A distribución exponencial úsase para modelar o tempo entre eventos nun proceso de Poisson.
Pregunta:
O tempo medio entre a chegada de dúas clientes a unha tenda é de 15 minutos. Cal é a probabilidade de que o tempo entre a chegada de dúas clientes sexa inferior a 10 minutos?
Debate:
A distribución exponencial ten un parámetro λ que é a inversa da media (μ). Cunha media de 15 minutos:
\[ λ = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
A función de distribución acumulativa exponencial é:
P(X ≤ x) = 1 – e^{-λ x}
Para \(x = 10\):
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 × 10}
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667}
P(X ≤ 10) \approx 1 – 0.5134
P(X ≤ 10) \approx 0.4866
Entón, a probabilidade de que o tempo entre a chegada de dúas clientes sexa inferior a 10 minutos é de aproximadamente 0.4866 ou o 48.66 %.
Conclusión
As distribucións de probabilidade, tanto discretas como continuas, son conceptos moi útiles para modelar e comprender o comportamento das variables aleatorias. As distribucións binomial e de Poisson úsanse a miúdo para variables discretas, mentres que as distribucións normal e exponencial son exemplos de distribucións continuas.
Cos exemplos anteriores, esperamos que teñas acadado unha mellor comprensión de como calcular e interpretar as probabilidades nas distribucións de probabilidade. Coa práctica constante, a túa capacidade para comprender as distribucións de probabilidade mellorará e poderá aplicarse en diversas disciplinas.
