Briathrachas agus Seòrsachan Comharrachadh Veictearan
Nuair a thathar a’ bruidhinn air matamataig, fiosaig, agus saidheans coimpiutaireachd, is e bun-bheachd nan vectaran gu tric eileamaid chudromach ri thuigsinn. Chan e dìreach bun-bheachdan eas-chruthach a th’ ann an vectaran; tha iad buntainneach ann an grunn shuidheachaidhean practaigeach, leithid mion-sgrùdadh dàta, grafaigean coimpiutair, agus atharrais fiosaig. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air briathrachas agus comharradh vectaran, agus an uairsin rannsaichidh sinn na diofar sheòrsaichean vectaran a lorgar anns na cuspairean sin.
Briathrachas agus Comharrachadh Veictar
1. Vectaran agus Sgalaran
'S e eintiteas matamataigeach a th' ann am vectar aig a bheil meud agus stiùireadh. An coimeas ri sin, 's e luach singilte a th' ann an scalar aig a bheil dìreach meud agus gun stiùireadh. Mar eisimpleir, 's e scalar a th' ann an astar de 5 m/s gun stiùireadh a chomharrachadh, agus 's e vectar a th' ann an astar de 5 m/s chun an ear.
2. Comharradh Vectar
Mar as trice, bidh vectaran air an comharrachadh le litir bheag throm mar v, no le saighead os cionn na litreach mar \(\vec{v}\). Mar eisimpleir, ma tha vectar v againn aig a bheil na h-eileamaidean aige \(v_1, v_2, v_3\), faodar seo a sgrìobhadh mar:
\[ \vec{v} = \ tòisich {pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
Is e dòigh eile air vectaran a sgrìobhadh, gu h-àraidh ann an co-theacsan dà- no trì-thaobhach, bunait àbhaisteach a chleachdadh. Mar eisimpleir:
[\vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k}]
far a bheil \(\hat{i}, \hat{j}\) agus \(\hat{k}\) nan vectaran aonad air na h-aisealan x, y, agus z.
Seòrsachan de Vectaran
1. Vector Suidheachaidh
'S e vectar suidheachaidh vectar a tha a' toirt cunntas air suidheachadh puing ann an àite an coimeas ri puing iomraidh, mar as trice puing O (an tùs). Ma tha co-chomharran (x, y, z) aig puing P ann an àite 3D, faodar am vectar suidheachaidh _(\vec{r}\) a chur an cèill mar:
[\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}]
2. Vector Gluasaid
Tha vectar gluasaid a’ toirt cunntas air an atharrachadh ann an suidheachadh puing bho aon suidheachadh gu suidheachadh eile. Ma tha co-chomharran (x1, y1, z1) aig puing A agus co-chomharran (x2, y2, z2) aig puing B, faodar am vectar gluasaid \(\vec{d}\) bho A gu B a sgrìobhadh mar:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]
3. Vectar Astair
'S e vectar a th' ann an astar a tha a' comharrachadh ìre atharrachaidh suidheachadh nì gach aonad ùine. Ma tha _(\vec{r}(t)\) na ghnìomh suidheachaidh a thaobh ùine, 's e vectar an astair _(\vec{v}(t)\) an t-atharrachadh de _(\vec{r}(t)\) a thaobh ùine t:
[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]
4. Vectar Luathachaidh
’S e an vectar luathachaidh an t-atharrachadh air vectar an astair a thaobh ùine. Tha e a’ comharrachadh ìre atharrachaidh astair nì gach aonad ùine. Ma tha \(\vec{v}(t)\) na ghnìomh de astair a thaobh ùine, ’s e an vectar luathachaidh \(\vec{a}(t)\) an t-atharrachadh air \(\vec{v}(t)\):
[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]
5. Vector Feachd
A rèir an dàrna lagh aig Newton, is e toradh mais agus luathachaidh a th’ ann an feachd. Tha feachd cuideachd na vectar oir tha meud agus stiùireadh aice. Ma tha m na mais agus ∫(vec{a}∫) na vectar luathachaidh, faodar vectar na feachd ∫(vec{F}∫) a chur an cèill mar:
[ \vec{F} = m\vec{a} \]
6. Vector Aonaid
Is e vectar aonad vectar aig a bheil meud (fad) aon. Gheibhear vectar aonad vectar _(\vec{v}\) le bhith a’ roinn _(\vec{v}\) leis a mheud. Ma tha meud _(\vec{v}\) de _(||\vec{v}||\), faodar a vectar aonad a sgrìobhadh mar:
\[ \hat{v} = \frac{ \vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. Vector neoni
Is e vectar neoni vectar aig a bheil na co-phàirtean uile neoni, agus mar as trice tha e air a chomharrachadh le \(\vec{0}\). Chan eil stiùireadh aig a’ vectar seo agus tha a mheudachd neoni. Seo eisimpleir ann an àite trì-thaobhach:
[\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}]
8. Vectaran Ortagonal
Thathar ag ràdh gu bheil dà vectar ceart-cheàrnach ma tha an toradh a-staigh aca co-ionann ri neoni. Ma tha \(\vec{u}\) agus \(\vec{v}\) nan dà vectar, tha iad ceart-cheàrnach ma tha:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. Vectaran Co-loidhneach agus Vectaran Co-phlanach
Thathar ag ràdh gu bheil dà vectar co-loidhneach ma tha iad nan laighe air an aon loidhne dhìreach no ma tha iad co-shìnte. Faodar an cur an cèill mar iomadan sgalar de chèile. Mar eisimpleir:
[\vec{v} = k\vec{u} \]
airson cuid de sgalar \(k\).
Aig an aon àm, thathar ag ràdh gu bheil trì vectaran co-phlanach ma tha iad san aon phlèana. Faodar an cur an cèill mar chothlamadh loidhneach den dà vectar eile.
Obrachaidhean air Vectaran
1. Cur-ris agus Toirt-às Vectar
Nithear cur-ris vectar le bhith a’ cur an co-phàirtean co-fhreagarrach ri chèile. Ma tha \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) agus \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), an uairsin:
[\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} \]
Tha toirt air falbh air a dhèanamh le bhith a’ toirt air falbh na pàirtean co-fhreagarrach:
[\vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \end{pmatrix} \]
2. Iomadachadh Sgalar
'S e iomadachadh sgalar obrachadh anns a bheil vectar le sgalar (luach àireamhach). Ma tha k na sgalar agus \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), an uairsin:
[k\vec{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \\end{pmatrix} \]
3. Toradh a-staigh (Toradh Dot)
'S e sgalar a th' anns an toradh a-staigh de dhà vectar \(\vec{u}\) agus \(\vec{v}\). Faodar a thomhas le:
[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. Tar-thoradh
Bidh toradh-croise dà vectar \(\vec{u}\) agus \(\vec{v}\) a’ gineadh vectar ùr a tha ceart-cheàrnach ris an dà vectar seo. Ann an àite trì-thaobhach, tha seo air a thomhas mar:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \toiseach{vmatrix}
i & j & k
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3
\end{vmatrix} \]
Co-dhùnadh
Tha tuigse air briathrachas agus comharradh vectar, a bharrachd air na seòrsaichean aca, deatamach ann an diofar chuspairean saidheansail. Chan e dìreach eintiteasan matamataigeach eas-chruthach a th’ ann am vectaran, ach cuideachd innealan cumhachdach ann am fiosaig, innleadaireachd, agus mion-sgrùdadh teicneòlas fiosrachaidh. Le deagh thuigse air na bun-bheachdan sin, is urrainn dhuinn dèiligeadh nas fhasa ri duilgheadasan iom-fhillte ann an raon farsaing de raointean.
