A’ Tuigsinn an Sgaoilidh Bhinn-nòmach
’S e an sgaoileadh dà-thaobhach aon de na sgaoilidhean coltachd sgarach as aithnichte agus as trice a thathas a’ cleachdadh ann an raointean coltachd agus staitistig. Tha e deatamach ann an iomadh tagradh, bho rannsachadh saidheansail gu mion-sgrùdadh dàta gnìomhachais. Bruidhnidh an t-artaigil seo air diofar thaobhan den sgaoileadh dà-thaobhach, bhon mhìneachadh bhunasach aige agus na feartan aige gu na tagraidhean aige ann an diofar raointean.
Mìneachadh agus Foirmle Sgaoilidh Binomial
’S e an sgaoileadh binomial an sgaoileadh coltachd de àireamh nan soirbheasan ann an sreath de dheuchainnean no bhreithneachaidhean aig a bheil dà thoradh eadar-dhealaichte, “soirbheachas” agus “fàilligeadh.” Canar deuchainnean Bernoulli ris na deuchainnean seo, agus canar sgeama Bernoulli ris an t-sreath seo de dheuchainnean neo-eisimeileach.
Is e am prìomh fhoirmle a thathar a’ cleachdadh gus coltachd an t-sgaoilidh binomial obrachadh a-mach:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 – p)^{n – k}]
Càite:
– ’S e (P(X = k)) an coltachd gum bi (k) sam bith a-mach à (n) deuchainnean soirbheachail.
– ’S e (n}{k) an co-èifeachd dà-thaobhach air a thomhas mar (n!}{k!(nk)!).
– ’S e \(p \) coltachd soirbheachais ann an aon deuchainn.
– \( 1 – p \) 'S e coltachd fàilligeadh ann an aon deuchainn.
– ’S e \(n \) an àireamh iomlan de dheuchainnean.
– ’S e \(k \) an àireamh de shoirbheasan a tha thu ag iarraidh.
Feartan an t-Sgaoilidh Dhìon-mheadhanach
Tha grunn fheartan cudromach aig an sgaoileadh binomial a tha ga dhèanamh feumail ann an mion-sgrùdadh staitistigeil:
1. Sgaoileadh neo-sgaraichte: 'S e sgaoileadh neo-sgaraichte a th' anns an sgaoileadh binomial oir chan eil e a' cunntadh ach an àireamh de shoirbheasan ann an àireamh chrìochnaichte de dheuchainnean.
2. Dà Thoradh: Chan eil ach dà thoradh aig gach deuchainn ann an sgeama Bernoulli: soirbheachas (le coltachd \(p \)) no fàilligeadh (le coltachd \(1 – p \)).
3. Neo-eisimeileach: Tha aon deuchainn neo-eisimeileach bho dheuchainn eile; chan eil buaidh aig toraidhean aon deuchainn air an fhear eile.
4. Paramadairean Stèidhichte: Tha an coltachd \(p \), an àireamh iomlan de dheuchainnean \(n \), agus an àireamh de shoirbheasan \(k \) nan paramadairean stèidhichte anns an t-sgaoileadh dà-thaobhach.
Meadhan agus Caochlaideachd Sgaoilidh Dhìon-mheadhanach
Tha foirmlean sìmplidh is furasta an cleachdadh cuideachd airson a’ mheadhain (cuibheasachd) agus an caochlaideachd den t-sgaoileadh binomial:
– Meadhan (\(\mu\)): Is e meadhan cuairteachaidh binomial an àireamh dheuchainnean air iomadachadh leis a’ choltachd soirbheachais:
\[ \mu = np \]
– Caochlaideachd (\(\sigma^2\)): 'S e caochlaideachd an t-sgaoilidh dhinn-tomhaich toradh àireamh nan deuchainnean, coltachd soirbheachais, agus coltachd fàilligeadh:
[ \sigma^2 = np(1 – p) \]
Sgrùdadh Cùise air Cleachdadh Sgaoilidh Dhà-thomach
Gus tuigse fhaighinn air mar a thathar a’ cleachdadh an t-sgaoilidh binomial, leig dhuinn sùil a thoirt air eisimpleirean san t-saoghal fhìor:
Eisimpleir 1: Mion-sgrùdadh Coileanaidh Luchd-obrach
Tha manaidsear airson coileanadh luchd-obrach ann an roinn a sgrùdadh. Gabh ris gu bheil cothrom 0,7 (70%) aig gach neach-obrach gnìomh a chrìochnachadh gu soirbheachail. Ma tha 10 luchd-obrach a’ dèanamh an aon ghnìomh, is dòcha gum bi am manaidsear airson faighinn a-mach dè cho coltach ‘s a tha e gum bi 7 luchd-obrach soirbheachail.
Cleachd foirmle an t-sgaoilidh dà-thaobhach:
[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Le bhith a’ tomhas a’ cho-èifeachd binomial agus an toradh deireannach, gheibhear coltachd na suidheachaidh seo.
Eisimpleir 2: Deuchainn Bathar ann am Factaraidh
Bidh factaraidh a’ dèanamh phàirtean dealanach le ìre locht de 2%. Ma nì iad deuchainn air 100 pàirt, dè an coltachd a th’ ann gum bi 2 lochtach?
Cleachd foirmle an t-sgaoilidh dà-thaobhach:
[P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.02)^2 (0.98)^{98} \]
Tha e a’ toirt seachad stiùireadh airson smachd càileachd.
Sgaoileadh Binomial an aghaidh Sgaoileadh Poisson
Ann an cuid de shuidheachaidhean, faodaidh an sgaoileadh binomial a bhith faisg air an sgaoileadh Poisson, gu h-àraidh nuair a tha an àireamh dheuchainnean n mòr agus an coltachd p beag. Is e aon riaghailt choitcheann airson a bhith a’ faisg air an sgaoileadh Poisson leis an sgaoileadh binomial ma tha n ≤ 20 agus p ≤ 0.05.
Cleachdadh Bathar-bog agus Sgaoileadh Binomial
Le adhartasan ann an teicneòlas agus coimpiutaireachd, faodar àireamhachadh sgaoilidh binomial a dhèanamh gu furasta a-nis le bhith a’ cleachdadh bathar-bog staitistigeil leithid R, Python, agus bathar-bog eile leithid Microsoft Excel. Mar eisimpleir, ann am Python, faodaidh tu an leabharlann `scipy.stats` a chleachdadh gus àireamhachadh sgaoilidh binomial a dhèanamh gu furasta:
“` python
bho scipy.stats in-mhalairt binom
Chrìochan
n = 10 àireamh dheuchainnean
p = 0.5 coltachd soirbheachais
k = 5 àireamh shoirbheasan
obraich a-mach coltachd binomial
binom_prob = binom.pmf(k, n, p)
clò-bhuail(“Cothrom air dìreach 5 soirbheasan fhaighinn:”, binom_prob)
“`
Co-dhùnadh
Tha an sgaoileadh dà-thaobhach na sgaoileadh bunaiteach ach cumhachdach ann an sgrùdadh coltachd agus staitistigeil. Air sgàth a nàdair fa leth agus a’ cur fòcas air dà thoradh - soirbheachas agus fàilligeadh - tha e na mhodail air leth freagarrach airson mòran shuidheachaidhean san t-saoghal fhìor. Chan e a-mhàin gu bheil eòlas air an sgaoileadh dà-thaobhach a’ cuideachadh le bhith a’ mìneachadh agus a’ tuigsinn coltachd tachartais ach tha e cuideachd a’ toirt bunait làidir airson sgrùdadh staitistigeil nas iom-fhillte. Tha cleachdadh innealan coimpiutaireachd an latha an-diugh air a dhèanamh nas fhasa an sgaoileadh dà-thaobhach a chur an sàs, ga dhèanamh na inneal gu math buntainneach ann an saoghal dàta-stiùirichte an latha an-diugh.
