Foirmle Vector Toraidh: Bun-bheachd, Modh-obrach, agus Eisimpleirean de Dhuilgheadasan
Is e meud a th’ ann am vectar aig a bheil meud agus stiùireadh. Ann am fiosaig agus matamataig, bidh vectaran gu tric air an cleachdadh gus diofar nithean leithid astar, feachd agus gluasad a mhìneachadh. Tha obrachadh a-mach an vectar a thig às, suim dà vectar no barrachd, na sgil riatanach a thathas a’ cleachdadh gu tric ann an diofar thagraidhean saidheansail agus teicnigeach. Bruidhnidh an t-artaigil seo air bun-bheachd vectaran, dòighean airson an vectar a thig às a thomhas, agus bheir e seachad grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan gus tuigse a shoilleireachadh.
A’ Tuigsinn Vectaran agus Vectaran Toraidheach
Vector
Is e eintiteas matamataigeach a th’ ann am vectar aig a bheil dà phrìomh fheart:
1. Meud: Meud luach a’ vectar.
2. Stiùireadh: Tha stiùireadh vectar a’ comharrachadh treòrachadh a’ vectar san fhànais.
Bithear gu tric a’ sealltainn vectaran mar shaigheadan, far a bheil fad na saighde a’ riochdachadh meud agus stiùireadh na saighde a’ comharrachadh stiùireadh a’ vectar.
Vector Toraidh
Is e vectar co-thàthaichte aon vectar a tha a’ riochdachadh measgachadh de dhà vectar no barrachd. Canar “cur-ris vectar” ris a’ phròiseas airson vectaran a chur ri chèile cuideachd. Tha grunn dhòighean ann a ghabhas cleachdadh gus am vectar co-thàthaichte obrachadh a-mach, nam measg dòighean grafaigeach agus anailis.
Modh Àireamhachaidh Toraidh Vectar
Modh Grafaigeach
Tha an dòigh ghrafaigeach a’ toirt a-steach riochdachadh vectaran gu geoimeatrach agus cleachdadh riaghailtean cur-ris vectaran gus an toradh a lorg. Is iad seo an dà phrìomh riaghailt den dòigh ghrafaigeach:
1. Modh an Triantain: Anns an dòigh seo, thèid an dàrna vectar a tharraing bho cheann a’ chiad vectar. ’S e am vectar a thig às a sin am vectar a thèid a tharraing bho thoiseach a’ chiad vectar gu ceann an dàrna vectar.
2. Modh nam Poileagan: Cleachdar an dòigh seo gus barrachd air dà vectar a chur ri chèile. Tha na vectaran air an tarraing ann an sreath bho cheann gu ceann, agus is e am vectar a thig às an seo am vectar a cheanglas puing tòiseachaidh a’ chiad vectar ri ceann a’ vectar mu dheireadh.
Modh Anailis
Tha an dòigh anailis a’ toirt a-steach cleachdadh matamataig agus triantanachd gus an vectar a thig às a thomhas. Is iad seo an dà phrìomh dhòigh anns an dòigh anailis:
1. Modh nam Pàirtean: Anns an dòigh seo, tha gach vectar air a roinn na phàirtean aige air feadh nan ais-x agus an ais-y. Tha na pàirtean seo an uair sin air an cur ri chèile gus pàirtean a’ vectar a thig às a sin fhaighinn. Mu dheireadh, tha am vectar a thig às a sin air a thomhas le bhith a’ cleachdadh teòirim Phìothagoras agus triantanachd.
2. Modh Cosine: Cleachdar an dòigh seo nuair a tha fios air meudan dà vectar agus a’ cheàrn eatorra. Cleachdar am foirmle cosine gus meud a’ vectar a thig às a thomhas.
Foirmlean Vector Toraidh
Modh-obrach Co-phàirteach
Airson dà vectar \(\mathbf{A}\) agus \(\mathbf{B}\) le co-phàirtean:
\[
\mathbf{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}
\]
\[
\mathbf{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}
\]
Is e an vectar a thig às a seo R:
\[
\mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j}
\]
Faodar meud a’ vectar a thig às a sin obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh teòirim Phìothagorais:
\[
|\mathbf{R}| = \ sqrt{(A_x + B_x)^2 + (A_y + B_y)^2}
\]
Tha stiùireadh a’ vectar a thig às a sin air a dhearbhadh leis a’ cheàrn _(\theta\) a tha air a chruthachadh leis an x-axis:
\[
θ = tan^{-1}(A_y + B_y}{A_x + B_x)
\]
Modh Cosine
Ma tha meudan A agus B aig dà vectar \(\mathbf{A}\) agus \(\mathbf{B}\) agus ceàrn \(\theta\) eatorra, is e meud a’ vectar R a thig às a seo:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}
\]
Faodar stiùireadh a’ vectar a thig às a thomhas le bhith a’ cleachdadh na foirmle trigonometric:
\[
α = frac{B sin θ}{A + B cos θ}
\]
Far a bheil α a’ ciallachadh a’ cheàrn a chruthaicheas an vectar co-thàthaichte leis a’ vectar A.
Eisimpleir de Dhuilgheadas Vector Toraidheach
Eisimpleir Ceist 1: Modh Co-phàirteach
Ceist:
Tha na co-phàirtean a leanas aig dà vectar \(\mathbf{A}\) agus \(\mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}
\]
\[
\mathbf{B} = 1\hat{i} + 2\hat{j}
\]
Obraich a-mach an vectar a thig às a sin, \(\mathbf{R}\).
Fuasgladh:
1. Cuir na co-phàirtean air na h-aisealan x agus y:
\[
R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4
\]
\[
R_y = A_y + B_y = 4 + 2 = 6
\]
2. Obraich a-mach meud a’ vectar a thig às:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 7,21
\]
3. Obraich a-mach stiùireadh a’ vectar a thig às:
\[
θ = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x}) = tan^{-1}(\frac{6}{4}) = tan^{-1}(1,5) = 56,31^circ
\]
Mar sin, tha meudachd 7,21 aig a’ vectar a thig às \(\mathbf{R}\) agus stiùireadh 56,31 ceum chun an x-axis.
Eisimpleir Ceist 2: Modh Cosine
Ceist:
Tha meudan de 5 aonadan aig dà vectar A agus B, agus tha an ceàrn eatorra 60°. Obraich a-mach meud a’ vectar R a thig às.
Fuasgladh:
1. Cleachd am foirmle cosine gus meud a’ vectar a thig às a thomhas:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \ sqrt{5^2 + 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{25 + 49 + 70 \cdot 0,5}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{25 + 49 + 35}
\]
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{109} = 10,44 \, \text{aonad}
\]
Mar sin, tha meud an vectar a thig às a sin 10,44 aonadan.
Eisimpleir 3: Toradh trì vectaran
Ceist:
Tha na co-phàirtean a leanas aig trì vectaran \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), agus \(\mathbf{C}\):
\[
\mathbf{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -1\hat{i} + 4\hat{j}
\]
\[
\mathbf{C} = 3\hat{i} – 2\hat{j}
\]
Obraich a-mach an vectar a thig às a sin, \(\mathbf{R}\).
Fuasgladh:
1. Cuir na co-phàirtean air na h-aisealan x agus y:
\[
R_x = A_x + B_x + C_x = 2 – 1 + 3 = 4
\]
\[
R_y = A_y + B_y + C_y = 3 + 4 – 2 = 5
\]
2. Obraich a-mach meud a’ vectar a thig às:
\[
|\mathbf{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} = 6,4
\]
3. Obraich a-mach stiùireadh a’ vectar a thig às:
\[
θ = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x}) = tan^{-1}(\frac{5}{4}) = tan^{-1}(1,25) = 51,34^circ
\]
Mar sin, am vectar a thig às a sin \(\mathbf{
Tha meudachd 6,4 aig R}\) agus stiùireadh 51,34 ceum chun an x-axis.
Co-dhùnadh
Tha obrachadh a-mach toradh vectar na sgil riatanach ann am fiosaig agus matamataig. Le bhith a’ cleachdadh dhòighean grafaigeach no anailis, is urrainn dhuinn toradh dà vectar no barrachd a dhearbhadh. Tha modh nan co-phàirtean agus modh nan cosines nan dà phrìomh dhòigh ann an àireamhachadh anailis a leigeas leinn meud agus stiùireadh a’ vectar toraidh obrachadh a-mach gu ceart. Tha na h-eisimpleirean gu h-àrd a’ sealltainn cleachdadh practaigeach nan bun-bheachdan sin, gar cuideachadh le bhith a’ tuigsinn agus a’ cleachdadh vectaran ann an grunn shuidheachaidhean saidheansail agus teicnigeach.
