Obrachaidhean air Àireamhan Iom-fhillte
’S e bun-bheachd matamataigeach a th’ ann an àireamhan iom-fhillte a tha a’ cothlamadh àireamhan fìor agus àireamhan mac-meanmnach. Tha iad bunaiteach do iomadh meur de shaidheans, nam measg fiosaig, innleadaireachd, agus matamataig fhèin. San artaigil seo, rannsaichidh sinn na diofar obrachaidhean a ghabhas dèanamh air àireamhan iom-fhillte, nam measg cur-ris, toirt-air-falbh, iomadachadh, roinneadh, agus barrachd.
A’ Tuigsinn Àireamhan Iom-fhillte
Faodar gach àireamh iom-fhillte a sgrìobhadh san riochd \(a+bi\), far a bheil \(a\) agus \(b\) nan àireamhan fìor agus \(i\) na aonad mac-meanmnach a tha a’ sàsachadh \(i^2 = -1\). Canar am pàirt fhìor ris an teirm \(a\), agus is e \(b\) am pàirt mac-meanmnach den àireamh iom-fhillte. Mar eisimpleir, is e \(3 + 4i\) àireamh iom-fhillte le pàirt fhìor 3 agus pàirt mac-meanmnach 4.
Mar cho-aontar bunaiteach, tha againn:
\[ i^2 = -1 \]
A tha a’ ciallachadh gur e \(i\) freumh ceàrnagach -1.
Cur-ris agus Toirt-às
Nithear cur-ris is toirt-air-falbh àireamhan iom-fhillte le bhith a’ cur-ris is a’ toirt-air-falbh nam pàirtean fìor is mac-meanmnach fa leth. Ma tha dà àireamh iom-fhillte againn (z_1 = a + bi) agus (z_2 = c + di), an uairsin:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
Contoh:
Biodh \(z_1 = 3 + 4i \) agus \(z_2 = 1 + 2i \), an uairsin:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Iomadachadh
Bidh iomadachadh àireamhan iom-fhillte a’ cleachdadh riarachadh mar ann an ailseabra ach a’ toirt aire do ∫(i^2 = -1 ∫). Ma tha ∫(z_1 = a + bi ∫) agus ∫(z_2 = c + di ∫), an uairsin:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Contoh:
Biodh \(z_1 = 3 + 4i \) agus \(z_2 = 1 + 2i \), an uairsin:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
[= 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2i + 4i ⋅ 1 + 4i ⋅ 2i]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Co-roinn
Nithear roinneadh àireamhan iom-fhillte le bhith ag iomadachadh an àireamhair agus an t-ainmiche leis an co-mheasgaiche den ainmiche. Is e co-mheasgaiche na h-àireimh iom-fhillte (z = a + bi) (z = a – bi).
Ma tha sinn a’ gabhail ris gu bheil (z₁ = a + bi) agus (z₂ = c + di) ann, an uairsin:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c+di} \]
Air iomadachadh le co-cheanglaiche an ainmiche:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Contoh:
Biodh \(z_1 = 3 + 4i \) agus \(z_2 = 1 + 2i \), an uairsin:
Co-cheangailte (z_2 = 1 – 2i).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Tha fios gu bheil \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modúl agus Argamaidean
’S e modulas àireamh iom-fhillte an t-astar bhon thùs anns a’ phlèana iom-fhillte chun a’ phuing a tha air a riochdachadh leis an àireamh iom-fhillte. Tha modulas àireamh iom-fhillte \(z = a + bi \) air a chur an cèill mar \( |z| \) agus air a thomhas le:
[ |z| = √{a² + b²}]
Contoh:
Ma tha (z = 3 + 4i), an uairsin:
[|z| = √{3^2 + 4^2} = √{9 + 16} = √{25} = 5}
Is e argamaid àireamh iom-fhillte an ceàrn a chruthaicheas an àireamh iom-fhillte leis an ais fhìor anns a’ phlèana iom-fhillte agus mar as trice tha e air a chur an cèill ann an radianan no ceumannan.
Foirm Polar
Faodar àireamhan iom-fhillte a chur an cèill ann an cruth pòlar cuideachd. Bidh an cruth seo gu tric a’ sìmpleachadh obrachaidhean anns a bheil cumhachdan agus freumhan àireamhan iom-fhillte. Faodar àireamh iom-fhillte a chur an cèill mar:
[z = r(cos ₀ + i sin ₀)]
far a bheil r na mhodal agus heta na argamaid den àireamh iom-fhillte.
Obraichean Iom-fhillte Eile: Eas-chruthach agus Logarithmach
Faodar àireamhan iom-fhillte a thionndadh gu cruth eas-chruthach le bhith a’ cleachdadh foirmle Euler:
\[ z = re^{i\theta} \]
far a bheil \(e \) na bhunait den logaritam nàdarrach, agus \(theta \) na argamaid aig \(z \).
Tha leudachadh àireamhan iom-fhillte glè fheumail ann an iomadh obrachaidhean, gu h-àraidh ann an anailis Fourier agus cruth-atharrachaidhean Laplace.
Co-dhùnadh
’S e inneal bunaiteach a th’ ann an àireamhan iom-fhillte a tha air leth feumail ann a bhith a’ fuasgladh raon farsaing de dhuilgheadasan ann am matamataig agus saidheans. ’S e ceum riatanach a’ chiad cheum a th’ ann a bhith a’ maighstireachd obrachaidhean bunaiteach leithid cur-ris, toirt-air-falbh, iomadachadh agus roinneadh. A bharrachd air an sin, bidh tuigse air bun-bheachdan modulas, argamaid, agus tionndadh gu cruthan pòlar agus eas-chruthach a’ neartachadh ar comas air tagraidhean àireamhan iom-fhillte a sgrùdadh ann an raon farsaing de raointean.
Le bhith a’ tuigsinn agus a’ cur àireamhan iom-fhillte an sàs, is urrainn dhuinn fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan a dh’ fhaodadh a bhith duilich no eadhon do-dhèanta fhuasgladh le bhith a’ cleachdadh fìor àireamhan leotha fhèin. Mar inneal anailis cumhachdach, tha àireamhan iom-fhillte fhathast nam pàirt riatanach de mhatamataig agus de thagraidhean saidheansail chun an latha an-diugh.
