A’ fuasgladh cho-aontaran co-aimsireil: Stiùireadh coileanta
Ann am matamataig, 's e seata de cho-aontaran anns a bheil an aon àireamh de chaochladairean a th' ann an co-aontar co-aimsireil, no siostam de cho-aontaran loidhneach. Is iad na fuasglaidhean airson nan co-aontaran seo luachan nan caochladairean a shàsaicheas a h-uile co-aontar san t-siostam aig an aon àm. Bidh co-aontaran co-aimsireil a’ nochdadh gu tric ann an diofar chuspairean, a’ gabhail a-steach eaconamas, fiosaig, ceimigeachd agus innleadaireachd. Bruidhnidh an t-artaigil seo air na prìomh dhòighean airson co-aontaran co-aimsireil fhuasgladh, bho ionadachadh agus cuir às gu cleachdadh maitrísean agus luchd-dearbhaidh.
1. Bun-bheachd nan Co-aontaran Co-aimsireil
Tha co-aontaran co-aimsireil a’ toirt a-steach dà cho-aontar no barrachd le dà chaochladair no barrachd. Is e eisimpleir sìmplidh dà cho-aontar loidhneach le dà chaochladair:
\[
cùisean
2x + y = 5
3x – y = 4
\deireadh{cùisean}
\]
Is e amas fuasgladh na co-aontar seo luachan \(x \) agus \(y \) a lorg a choinnicheas an dà cho-aontar.
2. Modh-ionaid
Tha an dòigh-obrach cur-an-àite a’ toirt a-steach na ceumannan a leanas:
1. Tagh aon de na co-aontaran agus atharraich e gu cruth _(y = _) no _(x = _).
2. Cuir na luachan bhon chiad cho-aontar a-steach don dàrna co-aontar.
3. Fuasgail an co-aontar a thig às gus luach aon chaochladair a lorg.
4. Cuir an luach air ais ann an aon de na co-aontaran tùsail gus luach a’ chaochladair eile a lorg.
Mar eisimpleir, cleachdaidh sinn an eisimpleir roimhe.
1. Bho a’ chiad cho-aontar 2x + y = 5, is urrainn dhuinn y a chur an cèill san riochd y = 5 – 2x.
2. Cuir an \(y \) a chaidh a lorg a-steach don dàrna co-aontar: \( 3x – (5 – 2x) = 4 \).
3. Fuasgail airson \(x \):
[3x – 5 + 2x = 4]
\[ 5x – 5 = 4 \]
\[5x = 9 \]
[x = \frac{9}{5} \]
4. Cuir (y = 5 – 2x) an àite (x = \frac{9}{5}):
[y = 5 – 2(\frac{9}{5}\deas) = 5 – \frac{18}{5} = 5 – 3.6 = 1.4]
’S e fuasglaidhean don t-siostam cho-aontaran a th’ anns na luachan x agus y.
3. Modh-sgrios
Tha an dòigh cuir às a’ toirt a-steach cuir às do aon de na caochladairean le bhith a’ cur ris no a’ toirt air falbh a cho-aontar toirt air falbh. Is iad seo na ceumannan:
1. Iomadaich aon no an dà cho-aontar gus am bi co-èifeachd aon de na caochladairean mar an ceudna.
2. Cuir ris no thoir air falbh an dà cho-aontar gus an caochladair a thoirt air falbh.
3. Fuasgail an co-aontar a thig às airson aon chaochladair.
4. Cuir luach a’ chaochladair a fhuaireadh air ais ann an aon de na co-aontaran tùsail gus an caochladair eile a lorg.
Cleachdaidh sinn an aon eisimpleir gus an dòigh cuir às a chur an sàs.
1. Iomadaich a’ chiad cho-aontar le 1 agus an dàrna fear le 2:
\[
cùisean
2x + y = 5
6x – 2y = 8
\deireadh{cùisean}
\]
2. Cuir an dà cho-aontar ri chèile:
\[
(2x + y) + (6x – 2y) = 5 + 8
\]
\[
8x – y = 13
\]
3. Fuasgail airson \(x \):
\[
8x = 13 + y \]
Leis nach eil an ceum cuir às againn a’ toirt a-mach \(x\) gu dìreach, feuchaidh sinn ri ceum eile ann an cuir às. Airson sìmplidheachd agus mar eòlas ionnsachaidh, iomadaich sinn an dà thaobh den chiad cho-aontar le factar de 2:
A’ chiad,
[\rightarrow 4x + 2y = 10 \]
San dàrna àite, is urrainn dhuinn cur ris:
[[\rightarrow 3x – y = 4\rightarrow 6x – 2y = 8\]
Às dèidh cur ri chèile:
[(4x + 6x) + (2y – 2y) = 10 + 8 10x = 18 x = (18/10) = 1.8]
Fuasgail airson \(x = 1.8 \):
Lorg luach \(y \):
[2(1.8) + y = 5]
[3.6 + y = 5] [3.6 + y = 5 – 3.6 = 1.4]
A-nis air a dhearbhadh ann an dà chothrom, tha an fhuasgladh againn soladach: x = 1.8 agus y = 1.4
Le dearbhadh chì sinn gu bheil na toraidhean seasmhach an dà chuid le cur na àite agus le cuir às.
4. Maitrísean agus Dearbhaidh
Tha an dòigh seo nas èifeachdaiche airson siostaman le barrachd cho-aontaran agus caochladairean. Tha maitrísean agus determinants nan dòighean a thathas a’ cleachdadh gu tric ann an ailseabra loidhneach.
Ma tha siostam cho-aontaran againn mar:
\[
cùisean
a_{11}x + a_{12}y = b_1
a_{21}x + a_{22}y = b_2
\deireadh{cùisean}
\]
Faodar an co-aontar seo a riochdachadh ann an cruth maitrís:
[A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
Càite
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{x} = \ tòisich {bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
[b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}]
Às an seo, is urrainn dhuinn am fuasgladh a sgrìobhadh a’ cleachdadh an inbhir maitrís:
[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]
Thoir air an leughadair a chreidsinn mar a nì thu tionndadh air ais [àite eòlais nas bunaitiche]:
Dearbhadh maitrís:
[det(A) = a_{11}Δ a_{22} – a_{21}Δ a_{12}]
dan
\[ A^{ -1} = [detA]^{-1} a \]
Eisimpleir cho luath 's a ghabhas:
\[
cùisean
2x + y = 5
3x – y = 4
\deireadh{cùisean}
\]
Gu:
\[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \ 3 & -1
\deireadh{bmatrix}
\]
\[
Det (A) = ( 2 \ cdot -1) – (3\cdot 1) = -2-3 = -5, \
\mathbf{x} =
1/secA \begin{bmatrix} -1&-1 \\ -3&2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\deireadh{cùisean}
Tha mi an dòchas gu bheil na ceumannan sgrìobhte gu soilleir mar a dh’ fhaodadh e measadh a dhèanamh.
Co-dhùnadh
Tha co-aontaran co-shìnte nan inneal riatanach ann am matamataig agus ann an tagraidhean san t-saoghal fhìor. Tha diofar dhòighean - ionadachadh, cuir às, agus maitrísean - a’ tabhann grunn dhòighean airson an fhuasgladh. Tha an roghainn dòigh an urra ri iom-fhillteachd an t-siostaim agus ìre comhfhurtachd an neach-cleachdaidh. Tha matamataig farsaing, agus cha bu chòir don àireamh mhòr de dhòighean a bhith eagallach, ach an àite sin bu chòir dhaibh raon nas fharsainge de fhuasglaidhean a thoirt seachad.
