Modhan Dearbhaidh Matamataigeach
Tha dearbhadh ann am matamataig aig cridhe na cuspair seo. ’S e dòighean dearbhaidh am bunait airson dèanamh cinnteach à fìrinn aithris matamataigeach. Bho bharailean bunaiteach gu co-dhùnaidhean, feumar gealltainn gu bheil gach ceum dligheach. Chan e a-mhàin gu bheil tuigse air diofar dhòighean dearbhaidh a’ neartachadh sgilean anailis ach cuideachd a’ neartachadh eòlas ionnsachaidh agus cleachdadh matamataig ann an diofar raointean.
Bruidhnidh an t-artaigil seo air cuid de na prìomh dhòighean dearbhaidh ann am matamataig, a’ gabhail a-steach dearbhadh dìreach, dearbhadh neo-dhìreach (contraposition agus contrarrachd), inntrigeadh matamataigeach, agus dearbhadh le eisimpleir sònraichte. Tha diofar chleachdaidhean, neartan agus laigsean aig gach dòigh. Feuchaidh sinn riutha a sgrùdadh nas doimhne.
1. Dearbhadh Dìreach
Mìneachadh agus Eisimpleirean
’S e dearbhadh dìreach dòigh anns a bheil sinn a’ dearbhadh aithris le bhith a’ sealltainn ma tha na bun-bheachdan (beachdan) fìor, gu bheil an co-dhùnadh fìor cuideachd. Ann an dearbhadh dìreach, mar as trice bidh sinn a’ tòiseachadh leis na tha fios againn agus a’ cleachdadh cheumannan loidsigeach gus an co-dhùnadh a ruighinn.
Contoh:
Dearbhaich ma tha \(n\) na àireamh chothromach, gu bheil \(n^2\) cuideachd cothromach.
Dearbhadh:
Ma tha \(n\) na àireamh chothromach. An uairsin, a rèir mìneachadh àireamh chothromach, faodar a sgrìobhadh gu bheil \(n = 2k\) airson slàn-àireamh àraidh \(k\). Mar sin,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Tha e soilleir gum faodar \(n^2\) a chur an cèill mar 2 uiread slàn-àireamh (i.e. \(2k^2\)). Leis gur e am prìomh riatanas airson àireamh chothromach gum faodar a cur an cèill mar 2 uiread slàn-àireamh, tha \(n^2\) cuideachd na àireamh chothromach.
2. Fianais neo-dhìreach
Tha dà phrìomh dhòigh-obrach ann an dearbhadh neo-dhìreach: dearbhadh le bhith a’ cur an aghaidh agus dearbhadh le bhith a’ còmhstri.
a. Dearbhadh air Co-thuiteamas
Mìneachadh agus Eisimpleirean
Tha an dòigh seo a’ toirt a-steach dearbhadh an aithris mhì-fhreagarrach “ma tha \(P\), an uairsin \(Q\)” le bhith a’ dearbhadh taobh an aghaidh na h-aithris: “mura h-e \(Q\), chan e \(P\)”.
Contoh:
Dearbhaich ma tha \(n^2\) neònach, gu bheil \(n\) neònach cuideachd.
Dearbhadh:
Is e seo an coimeas ris an aithris: Mura h-eil \(n\) neònach (no cothromach), chan eil \(n^2\) neònach (no cothromach).
Ma tha \(n\) cothromach, an uairsin \(n = 2k\) airson slàn-àireamh \(k\). Mar sin,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Tha seo a’ ciallachadh gur e àireamh chothromach a th’ ann an \(n^2\). Mar sin, tha an aithris a tha a’ dol an aghaidh sin air a dhearbhadh, agus tha gealladh ann cuideachd gu bheil an aithris thùsail fìor.
b. Dearbhadh le Còmhstri
Mìneachadh agus Eisimpleirean
Tha dearbhadh le contrarrachd a’ toirt a-steach a bhith a’ gabhail ris gu bheil an aithris a tha ri dhearbhadh ceàrr agus a’ sealltainn gu bheil a’ bharail seo a’ leantainn gu contrarrachd loidsigeach.
Contoh:
Dearbhaich gur e àireamh neo-reusanta a th’ ann an \(\sqrt{2}\).
Dearbhadh:
Abair, an àite sin, gur e àireamh reusanta a th’ ann an ∫ₙ₀₂. An uairsin, tha ∫ₙ₀₂ = ∫a/b), far a bheil ∫ₙ₀ agus ∫ₙ₀ nan àireamhan slàn prìomhach coimeasach (is e 1 an toirt air falbh), agus ∫ₙ₀₂₀. Mar sin, is urrainn dhuinn sgrìobhadh:
[² = a/b]
[2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
Bhon cho-aontar seo, chì sinn gur e àireamh chothromach a th’ ann an \(a^2\), a tha a’ ciallachadh gum feum \(a\) a bhith cothromach cuideachd. Ma tha \(a = 2k\), tha againn:
[2b^2 = (2k)^2]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
[b^2 = 2k^2]
Leis gur àireamh chothromach a th’ ann an \(b^2\), feumaidh \(b\) a bhith na h-àireamh chothromach cuideachd. Tha seo a’ ciallachadh gu bheil \(a\) agus \(b\) le chèile nan àireamhan cothromach, a’ dol an aghaidh a’ bharail thùsail gur e \(\frac{a}{b}\) a th’ ann san riochd as sìmplidhe aige. Mar sin, chan urrainn dha \(\sqrt{2}\) a bhith na àireamh reusanta, agus mar sin tha e neo-reusanta.
3. Inntrigeadh Matamataigeach
Mìneachadh agus Eisimpleirean
'S e dòigh dearbhaidh a th' ann an ionduchtachadh matamataigeach a thathar a' cleachdadh gus aithrisean anns a bheil àireamhan slàn a dhearbhadh. Tha dà cheum sa phròiseas: bunait an ionduchtachaidh agus ceum an ionduchtachaidh.
Contoh:
Dearbhaich gu bheil suim a’ chiad shreath de shlànaighean _(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}_).
Dearbhadh:
– Bunait Inntrigidh:
Airson \(n = 1\),
[1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
ceart.
Ceumannan Inntrigidh:
Gabh ris gu bheil an aithris fìor airson àireamh \(k\). 'S e sin,
[1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Feumaidh sinn dearbhadh gu bheil e fìor cuideachd airson \(k + 1\). Cuiridh sinn \(k + 1)\) ris gach taobh den cho-aontar:
[1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Mar sin, tha an aithris fìor airson \(k + 1\). Mar sin, a rèir prionnsabal an ionduchtachaidh matamataigeach, tha an aithris fìor airson gach slàn-àireamh dheimhinneach \(n\).
4. Dearbhadh le Eisimpleirean Sònraichte
Mìneachadh agus Eisimpleirean
Tha an dòigh seo a’ toirt a-steach dearbhadh le bhith a’ taghadh eisimpleirean sònraichte a choinnicheas ris na cumhaichean uile a tha air an toirt seachad san aithris agus a sheallas gu bheil an aithris fìor. Ach, mar as trice bithear a’ cleachdadh an dòigh seo gus dearbhadh gu bheil aithris meallta.
Contoh:
Dearbhaich gu bheil àireamhan ann nach gabh a chur an cèill mar suim dà cheàrnag foirfe.
Dearbhadh:
Feuch ri eisimpleir \(3\) a chleachdadh:
Ma ghabhas ¹⁵ a chur an cèill mar suim dà cheàrnag foirfe, is iad sin ¹⁵⁻⁷ + ¹⁵⁻⁷ = 3). Às dèidh feuchainn ri gach measgachadh de na h-àireamhan slàn ¹⁵⁻⁷ agus ¹⁵⁻⁷,
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (do-dhèanta).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (do-dhèanta).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (do-dhèanta).
4. Chan eil àireamhan àicheil no àireamhan nas motha na 2 comasach nas motha.
Tha seo a’ sealltainn nach gabh \(3\) a chur an cèill mar suim dà àireamh cheàrnagach. Mar sin, tha àireamhan ann nach gabh a chur an cèill mar suim dà àireamh cheàrnagach foirfe.
Co-dhùnadh
Feumaidh dearbhaidhean ann am matamataig diofar dhòighean-obrach agus ceumannan siostamach a rèir an seòrsa aithris a thathar a’ dearbhadh. Tha dearbhadh dìreach, dearbhadh neo-dhìreach (an aghaidh agus an aghaidh), inntrigeadh matamataigeach, agus eisimpleirean sònraichte nam measg cuid de na prìomh dhòighean dearbhaidh a thathas a’ cleachdadh ann an diofar shuidheachaidhean. Neartaichidh tuigse air na dòighean sin bunaitean matamataig agus cuidichidh e thu gus sgrùdadh nas doimhne a dhèanamh air diofar mheuran matamataig.
Le cleachdadh agus tuigse dhomhainn, bidh dòighean dearbhaidh matamataigeach nan inneal a bhios an-còmhnaidh deiseil airson a chleachdadh ann a bhith a’ fuasgladh dhuilgheadasan matamataigeach iom-fhillte.
