A’ cleachdadh foirmlean eas-chruthach
’S e bun-bheachd matamataigeach a th’ anns an fhoirmle eas-chruthach a nochdas gu tric ann am beatha làitheil, eadhon ged nach eil sinn tric ga thuigsinn. Nuair a bhios sinn a’ bruidhinn mu fhàs sluaigh, riadh co-thàthaichte air cunntasan sàbhalaidh, sgaoileadh bhìorasan, lobhadh stuthan rèidio-beò, agus eadhon fàs luchd-cleachdaidh aplacaidean didseatach, faodar iad sin uile a mhodaladh le bhith a’ cleachdadh pàtran coltach ris: atharrachaidhean a bhios ag “iomadachadh” thar ùine. ’S e am pàtran seo am prìomh fheart de eas-chruthan. Bruidhnidh an t-artaigil seo air mìneachadh na foirmle eas-chruthach, a cruth coitcheann, mar a chleachdas tu i, còmhla ri eisimpleirean tagraidh agus molaidhean airson mearachdan àireamhachaidh a sheachnadh.
1. Dè a th' ann an eas-chruthach?
Ann am faclan sìmplidh, 's e seòrsa àireamhachaidh a th' ann an eas-chruthachadh anns a bheil cumhachdan. Ma sgrìobhas sinn \(a^n\), canar am bonn ri \(a\) agus canar an eas-chruthach no an cumhachd ri \(n\). Eisimpleir sìmplidh: \(2^3 = 8\), a tha a' ciallachadh 2 air iomadachadh leis fhèin trì tursan: \(2 \times 2 \times 2\).
Ach, ann an co-theacsa modaladh, mar as trice bidh “foirmle eas-chruthach” a’ toirt iomradh air gnìomh aig a bheil luach ag àrdachadh no a’ lùghdachadh le factar stèidhichte thar ùine shònraichte. Mar eisimpleir, tha àireamh a bhios ag àrdachadh gu cunbhalach le 10% gach bliadhna a’ ciallachadh gu bheil a luach air iomadachadh le 1,10 gach bliadhna. Is e pàtran eas-chruthach a tha seo - chan ann ag àrdachadh le suim stèidhichte, ach le ceudad stèidhichte.
2. Cruth coitcheann na foirmle eas-chruthach
Tha dà sheòrsa foirmlean eas-chruthach ann a thathas a’ cleachdadh as trice:
1) Fàs/crìonadh fa leth (stèidhichte air ùine shònraichte)
\[
N(t) = N_0 \times a^t
\]
Fiosrachadh:
– \(N(t)\): luach aig an àm \(t\)
– \(N_0\): luach tùsail
– \(a\): factar iomadachaidh airson gach ùine (m.e. 1,10 airson àrdachadh 10%; 0,90 airson lùghdachadh 10%)
– \(t\): àireamh de thursan (m.e. bliadhnaichean, mìosan, làithean)
2) Fàs/crìonadh leantainneach (modail ìre leantainneach)
\[
N(t) = N_0 \times e^{rt}
\]
Fiosrachadh:
– ’S e àireamh Euler a th’ ann an \(e\) (timcheall air 2,71828)
– \(r\) ìre fàis leantainneach (faodaidh e a bhith deimhinneach airson fàs, àicheil airson crìonadh)
– \(t\) ùine
Ann am mòran chùisean sgoile no cleachdaidhean practaigeach sìmplidh, tha an cruth neo-sgaraichte \(N(t)=N_0 a^t\) gu leòr. Mar as trice, bithear a’ cleachdadh an cruth leantainneach ann an mion-sgrùdadh nas doimhne, mar eisimpleir ann an àireamhachd, fiosaig, no modaladh epidemic.
3. Ceumannan airson am foirmle eas-chruthach a chleachdadh
Gus troimh-chèile a sheachnadh, lean na ceumannan seo nuair a bhios tu ag obair air duilgheadasan eas-chruthach:
1) Obraich a-mach luach tùsail \(N_0\)
Is e seo an t-suim aig toiseach an amharc (bliadhna 1, latha 0, agus mar sin air adhart).
2) Comharraich a bheil e a’ fàs no a’ crìonadh.
– Fàs: bidh an luach ag àrdachadh (factar \(a > 1\) no \(r>0\))
– Crìonadh: bidh an luach a’ fàs nas lugha (factar \(0
5) Obraich a-mach an toradh Cleachd àireamhair ma tha an t-eas-pònant mòr no ma tha deicheamhan ann. 4. Eisimpleirean de chur an sàs fàs eas-pònantach Eisimpleir 1: Riadh co-thàthaichte sìmplidh Bidh neach a’ sàbhaladh Rp. 5.000.000 le ìre rèidh de 8% gach bliadhna, thèid an riadh a phàigheadh agus a chur ris a’ chothromachadh aig deireadh gach bliadhna (riadh co-thàthaichte). Dè an cothromachadh an dèidh 5 bliadhna? Air a thoirt seachad: - \(N_0 = 5.000.000\) - \(a = 1 + 0,08 = 1,08\) - \(t = 5\) Foirmle: \[ N(5) = 5.000.000 \times (1,08)^5 \] Luach \((1,08)^5 \approx 1,4693\) Mar sin: \[ N(5) \approx 5.000.000 \times 1,4693 = 7.346.500 \] Cothromachadh timcheall air Rp7.346.500 (a rèir cruinneachadh). Eisimpleir 2: Fàs luchd-cleachdaidh aplacaid Tha 20.000 neach-cleachdaidh aig aplacaid. Bidh an àireamh de luchd-cleachdaidh a’ fàs 25% gach mìos. Cia mheud neach-cleachdaidh a bhios ann às dèidh 6 mìosan? - \(N_0 = 20.000\) - \(a = 1,25\) - \(t = 6\) \[ N(6) = 20.000 \times 1,25^6 \] Bho \(1,25^6 \approx 3,8147\), an uairsin: \[ N(6) \approx 20.000 \times 3,8147 = 76.294 \] Mar sin tha an àireamh luchd-cleachdaidh timcheall air 76.294 an dèidh 6 mìosan. 5. Eisimpleirean de chur an sàs crìonadh eas-chruthach Eisimpleir 3: Crìonadh luach bathar (crìonadh luach) Bidh baidhsagal-motair luach Rp. 18.000.000 a’ fulang crìonadh luach 12% gach bliadhna. Dè a luach an dèidh 4 bliadhna? - \(N_0 = 18.000.000\) - air lùghdachadh le 12% → \(a = 0,88\) - \(t = 4\) \[ N(4) = 18.000.000 \times 0,88^4 \] Bho \(0,88^4 \approx 0,5997\), an uairsin: \[ N(4) \approx 18.000.000 \times 0,5997 = 10.794.600 \] Tha an luach timcheall air Rp10.794.600. Eisimpleir 4: Crìonadh stuth Ma tha stuth a’ lùghdachadh le 5% gach uair a thìde. Mas e 200 gram a bh’ ann an toiseach, dè an ìre a tha air fhàgail às dèidh 10 uairean a thìde?
- \(N_0=200\) - \(a=0,95\) - \(t=10\) \[ N(10)=200 \times 0,95^{10} \] Bho \(0,95^{10} \approx 0,5987\): \[ N(10) \approx 200 \times 0,5987 = 119,74 \] Tha timcheall air 119,74 graman air fhàgail. 6. A’ dearbhadh ùine (a’ lorg \(t\)) le logartaman Uaireannan chan e a’ cheist an luach deireannach, ach “dè cho fada ’s a bheir e”. Airson sin, feumaidh sinn logartaman. Ma tha: \[ N(t) = N_0 a^t \] an uairsin: \[ \frac{N(t)}{N_0} = a^t \] Gabh an log: \[ t = \frac{\log\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}{\log(a)} \] Eisimpleir luath: Bidh sàbhalaidhean ag àrdachadh 10% gach bliadhna. Cuin a dhùblaicheas iad? - \(a=1,10\) - \(\frac{N(t)}{N_0}=2\) \[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,10)} \approx \frac{0,3010}{0,0414} \approx 7,27 \] Mar sin mu 7,27 bliadhna. 7. Mearachdan cumanta nuair a thathar a’ cleachdadh foirmlean eas-chruthach 1) A’ tionndadh ceudadan gu ceàrr gu factaran de 10% an àite 0,10 mar am prìomh iomadaiche, ach gu 1,10 airson fàs. 2) Aonadan ùine ceàrr Mura h-eil an ceudad gach mìos, na cleachd \(t\) ann am bliadhnaichean às aonais tionndadh. 3) A’ measgachadh fàs eas-chruthach le fàs loidhneach Bidh fàs loidhneach a’ cur “suim stèidhichte” ris, mar eisimpleir, +5 gach ùine. Bidh fàs eas-chruthach a’ cur “ceudad stèidhichte” ris, agus mar sin bidh an àrdachadh nas motha thar ùine. 4) A’ cruinneachadh ro thràth Feuch ri cuid de na h-àireamhan a shàbhaladh ann am meadhan an àireamhachaidh, gan cruinneachadh aig a’ cheann thall. 8. Co-dhùnadh Bidh cleachdadh fhoirmlean eas-chruthach gar cuideachadh le bhith a’ tuigsinn iongantas a bhios ag atharrachadh gu eas-chruthach thar ùine. Le bhith eòlach air an luach tùsail \(N_0\), a’ dearbhadh am factar fàis/crìonadh \(a\), agus ùine \(t\), is urrainn dhuinn luachan san àm ri teachd a ro-innse no obrachadh a-mach dè cho fada ’s a bheir e gus targaid a choileanadh. Tha am foirmle seo glè chudromach ann an eaconamas, saidheans, teicneòlas, agus mòran thaobhan de bheatha fhìor. Is e an iuchair cunbhalachd aonadan agus cruinneas ann a bhith ag atharrachadh ceudadan gu factaran. Cho luath ‘s a bhios tu air na bunaitean a mhaighstir, bidh duilgheadasan eas-chruthach a’ faireachdainn tòrr nas fhasa agus a’ dèanamh ciall. Ma thogras tu, is urrainn dhomh duilgheadasan cleachdaidh agus mìneachaidhean a chur ris, no an artaigil seo atharrachadh airson oileanaich bun-sgoile, meadhan-sgoile no àrd-sgoile.
