Foirmlean agus Eisimpleirean Crith-chrith Harmonic
Tha crith-sheirmeach na chuspair chudromach ann am fiosaig, a’ nochdadh gu tric ann an deasbadan mu ghluasad cunbhalach, tonnan, agus tagraidhean innleadaireachd. Gheibh sinn e ann an gluasad fuarain, peann-chluasan (airson ceàrnan beaga), agus eadhon crith mholacilean ann an stuth. Canar “sheirmeach” ris leis gu bheil a ghluasad a’ leantainn pàtran cunbhalach agus faodar a mhodaladh le gnìomhan sine no cosine. Tha an artaigil seo a’ beachdachadh air mìneachadh goirid, foirmlean cudromach, agus eisimpleirean de dhuilgheadasan le fuasglaidhean gus ar cuideachadh le bhith a’ tuigsinn bun-bheachd crith-sheirmeach.
1. A’ Tuigsinn Crithidhean Co-sheirmeach
Is e crith shìmplidh shàmhach (SHM) gluasad air ais is air adhart nì seachad air puing cothromachaidh le feachd ath-nuadhachaidh aig a bheil meud co-rèireach ris an gluasad agus aig a bheil an stiùireadh an-còmhnaidh a dh’ionnsaigh a’ phuing cothromachaidh. Gu matamataigeach, faodar na feartan aige a sgrìobhadh mar:
F = −kx
Tha an soidhne minus a’ comharrachadh gu bheil stiùireadh na feachd mu choinneamh stiùireadh an diallaidh. Ma thèid an nì a tharraing chun na làimh dheis (x deimhinneach), tha an fheachd ath-nuadhachaidh chun na làimh chlì (àicheil), agus a chaochladh.
Is iad an dà shiostam a thathas a’ toirt iomradh orra mar eisimpleirean de GHS:
1. Siostam earraich-mhais (mais aig ceann an earraich).
2. Peingeal sìmplidh (airson ceàrnan beaga, mar as trice < 15°). 2. Meudan Cudromach ann an Crith Harmonach Seo cuid de na meudan a nochdas an-còmhnaidh ann an GHS: - Claonadh (x): astar an nì bhon phuing cothromachaidh (m). - Meud (A): an claonadh as motha (m). - Ùine (T): an ùine a dh’ fheumar airson aon chreathadh iomlan (s). - Tricead (f): an àireamh de chreathadh gach diog (Hz). - Astar ceàrnach / tricead ceàrnach (ω): paramadair cudromach anns a’ cho-aontar sine/cosine (rad/s). - Ìre (φ): a’ dearbhadh nan suidheachaidhean tòiseachaidh gluasaid. An dàimh bhunasach eadar ùine agus tricead: f = 1/T Agus an dàimh eadar ω agus T agus f: ω = 2πf = 2π/T 3. Co-aontar Crith Harmonach Faodar an cruth coitcheann de chlaonadh mar ghnìomh ùine a sgrìobhadh: x(t) = A sin(ωt + φ) no x(t) = A cos(ωt + φ)
Tha an roghainn sin/cos a cheart cho ceart, a rèir nan suidheachaidhean tòiseachaidh (m.e., aig t = 0, tha an suidheachadh ann an leud no aig a’ phuing cothromachaidh). Astar agus Luathachadh Is e an astar a’ chiad thoradh den ghluasad: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (ma tha x = A sin) no faodaidh e a bhith àicheil cuideachd a rèir a’ chruth tòiseachaidh. Is e an luathachadh an dàrna thoradh: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) Leis gu bheil x(t) = A sin(ωt + φ), an uairsin: a(t) = −ω² x(t) Is e seo prìomh fheart de GHS: tha an luathachadh co-rèireach ris an gluasad agus mu choinneamh ann an stiùireadh. Astar as Motha agus Luathachadh as Motha - v_max = Aω - a_max = Aω² Bidh an astar as motha a’ tachairt nuair a thèid an nì seachad air a’ phuing cothromachaidh (x = 0). Bidh an luathachadh as motha a’ tachairt nuair a tha e ann an leud (x = ±A). 4. Ùine Crith ann am Fuarain is Peingilean A. Fuaran–Mas Airson fuaran air leth le cunbhalachd an earraich k agus mais m: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Tha seo a’ ciallachadh, mar as motha a’ mhais, ’s ann as motha an ùine (nas slaodaiche). Mar as motha k (is ann as cruaidhe an t-earrach), ’s ann as lugha an ùine (nas luaithe). B. Peingilean Sìmplidh (Ceàrn Beag) Airson peingilean le fad sreang L agus luathachadh grabhataidh g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Gu inntinneach, anns an tuairmse ceàrn beag, chan eil an ùine an urra ri mais a’ pheingilean, tha e an urra ris an fhaid agus grabhataidh a-mhàin. 5. Lùth ann an Crith Harmonach Ann an GHS, bidh an lùth iomlan seasmhach (mura h-eil suathadh ann): - Lùth comasach an earraich: Ep = ½ kx² - Lùth cineatach: Ek = ½ mv² - Lùth meacanaigeach iomlan: E = Ek + Ep = ½ kA² Nuair a tha x = ±A, v = 0 agus mar sin tha an lùth uile comasach. Nuair a tha x = 0, Ep = 0 agus tha an lùth uile cineatach. 6. Ceistean Eisimpleir agus Deasbad Eisimpleir 1: A’ dearbhadh Ùine an Earraich Tha mais de 0,5 kg crochte air fuaran le k = 200 N/m seasmhach. Obraich a-mach an ùine crith! Air a thoirt seachad: m = 0,5 kg, k = 200 N/m Air a cheasnachadh: T Freagairt: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
Mar sin, tha ùine crith an earraich mu 0,314 s. --- Eisimpleir 2: A’ dearbhadh tricead agus ω Bho cheist 1, dearbhaich an tricead (f) agus ω! Freagairt: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s (no gu dìreach ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s) Mar sin, tha an tricead mu 3,18 Hz agus ω = 20 rad/s. --- Eisimpleir 3: Co-aontar claonaidh Bidh nì a’ crith gu co-sheirmeil le leud-thomhas de 0,10 m agus ω = 5 rad/s. Aig t = 0, tha an nì aig a’ phuing cothromachaidh agus a’ gluasad san t-slighe dheimhinneach. Dearbhaich co-aontar a’ chlaonaidh! Air a thoirt seachad: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s Cumhaichean tòiseachaidh: t = 0 → x = 0 agus tha an v tùsail deimhinneach. Ma tha x(0) = 0, is e sine an cruth iomchaidh: x(t) = A sin(ωt) Leis gu bheil v(t) = Aω cos(ωt), tha v(0) = Aω cos(0) = Tha Aω deimhinneach, a rèir sin. Mar sin: x(t) = 0,10 sin(5t) (meatairean) --- Eisimpleir 4: Astar as àirde agus Luathachadh as àirde Bho eisimpleir 3, obraich a-mach v_max agus a_max. Freagairt: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² Mar sin, v_max = 0,50 m/s agus a_max = 2,5 m/s². --- Eisimpleir 5: Lùth ann an Fuaran Bidh fuaran le k = 100 N/m a’ crith le leud-thomhas de A = 0,20 m. Obraich a-mach an lùth meacanaigeach iomlan aige! Freagairt: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J Is e 2 joules an lùth meacanaigeach iomlan den chreathadh. --- Eisimpleir 6: Ùine Peindil Tha peindil sìmplidh 1 m a dh'fhaid. Ma tha g = 10 m/s², obraich a-mach an ùine aige. Freagairt: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s Mar sin, tha ùine a’ pheindil timcheall air 2,0 s. 7. Co-dhùnadh Tha crith co-sheirmeach sìmplidh na ghluasad ùineil glè bhunasach ann am fiosaig. Tha an iuchair airson a thuigsinn anns a’ cheangal eadar an fheachd ath-nuadhachaidh a tha co-rèireach ris an gluasad (F = −kx), a bharrachd air a mhodail matamataigeach a leanas an gnìomh sine/cosine. Le bhith a’ tuigsinn foirmle na h-ùine airson fuarain agus peann-chluasan, na co-aontaran gluasad-astar-luathachaidh, agus bun-bheachd lùtha, bidh e nas fhasa dhut obrachadh air duilgheadasan co-cheangailte ri crithidhean agus tonnan.
Ma thogras tu, is urrainn dhomh ceistean cleachdaidh a bharrachd a chur ris (gun deasbad an toiseach) no geàrr-chunntas de na foirmlean a chruthachadh deiseil airson na deuchainn.
