Ceistean Eisimpleir agus Deasbad air Lagh Gauss
’S e prìomh cholbh ann an dealan-mhagnetachd a th’ ann an Lagh Gauss. Tha e a’ toirt seachad dòigh èifeachdach airson an raon dealain a thèid a chruthachadh le sgaoileadh cosgais dealain obrachadh a-mach. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh sinn air mar a chuireas sinn Lagh Gauss an sàs ann an diofar shuidheachaidhean.
Bun-bheachd Lagh Gauss
Mus tòisich sinn leis na duilgheadasan eisimpleir, leig dhuinn ath-sgrùdadh a dhèanamh air bun-bheachd Lagh Gauss. Tha Lagh Gauss ag ràdh gu bheil an sruth dealain iomlan \( \Phi_E \) a tha a’ sruthadh bho uachdar dùinte co-rèireach ris a’ chosgais iomlan \( q_{in} \) a tha air a chuairteachadh leis an uachdar. Gu matamataigeach, tha Lagh Gauss air a chur an cèill mar:
[PhiE = \point_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
Càite:
– Is e \( \Phi_E \) an sruth dealain.
– Is e \( \mathbf{E} \) an raon dealain.
– ’S e \( \mathbf{A} \) an vectar farsaingeachd uachdair.
– ’S e \( q_{in} \) an cosgais taobh a-staigh an uachdair dhùinte.
– ’S e (epsilon_0) an ceadachd falamh ((epsilon_0 mu 8.85 × 10⁻⁷, C²/(N m²)).
Eisimpleir Ceist 1: Achadh Dealain ann an Cruinne-giùlain Falamh
Ceist:
Tha cruinne giùlain falamh agad le radius a-muigh _(R \) agus cosgais iomlan _(Q \). Obraich a-mach an raon dealain taobh a-staigh an t-seoltaiche falamh.
Deasbad:
– Co-dhùnadh Uachdar Gaussian:
Gabh ris gu bheil sinn a’ taghadh uachdar Gaussian cruinneach co-mheadhanach le radius _(r \) taobh a-staigh cuas giùlain (far a bheil _(r < R \)). - Àireamhachadh Sruth is Cosgais: Leis gur e cuas falamh a tha taobh a-staigh na cruinne giùlain, tha an cosgais taobh a-staigh uachdar Gaussian neoni (_(q_{in} = 0 \)). - Cur an sàs Lagh Gauss: A rèir Lagh Gauss: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
Deasbad:
Airson (r < R): - Co-dhùnadh Uachdar Gaussian: Tagh uachdar Gaussian cruinneach le radius (r) taobh a-staigh a’ chruinne chruaidh. - Àireamhachadh Cosgais: Leis gu bheil an cosgais air a sgaoileadh gu cothromach, is e an cosgais taobh a-staigh radius (r): [q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \] far a bheil (\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \). [ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}πR^3} ⋅ \frac{4}{3}πr^3 = Q (\frac{r^3}{R^3})] - Cur an sàs Lagh Gauss: [ S = d q_{in}}{\epsilon_0} ] Mar sin: [ E 4π r^2 = \frac{Q (\frac{r^3}{R^3})}{\epsilon_0} ] Le bhith a’ sìmpleachadh: [ E = \frac{Q r}{4π \epsilon_0 R^3} ] Mar sin, is e an raon dealain taobh a-staigh a’ chruinne (( r < R)): [ E = \frac{Q r}{4π \epsilon_0 R^3} Airson (r > R):
– Co-dhùnadh Uachdar Gaussian:
Tagh uachdar Gaussian cruinn le radius r taobh a-muigh na cruinne cruaidhe.
– Àireamhachadh Luchdaidh:
Is e an cosgais iomlan ann an uachdar Gaussian cosgais iomlan na cruinne (Q).
– Cur an sàs Lagh Gauss:
\[
Co-mheas S E d A = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Mar sin:
\[
E 4π r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
Le bhith a’ sìmpleachadh:
\[
E = \frac{Q}{4π \epsilon_0 r^2}
\]
Mar sin, is e an raon dealain taobh a-muigh na cruinne (\(r > R \)):
\[
E = \frac{Q}{4π \epsilon_0 r^2}
\]
Co-dhùnadh
Tha lagh Gauss a’ toirt seachad inneal cumhachdach airson raointean dealain a sgrùdadh ann an raon farsaing de shuidheachaidhean. Le bhith a’ taghadh uachdar Gaussian iomchaidh agus a’ cur a phrionnsabalan bunaiteach an sàs, is urrainn dhuinn cuairteachaidhean raointean dealain obrachadh a-mach nas èifeachdaiche. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, tha sinn air tagraidhean lagh Gauss fhaicinn ann an suidheachaidhean leithid an raon dealain ann an cruinne giùlain, truinnsear meatailt gun chrìoch, cosgais puing, agus cruinne anns a bheil cosgais èideadh. Nì tuigse agus cleachdadh cunbhalach cinnteach à cleachdadh làidir de lagh Gauss ann an diofar thagraidhean electromagnetism.
