Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbadan Eadar-theangachaidh Matamataigeach
'S e cruth-atharrachadh geoimeatrach a th' ann an eadar-theangachadh a ghluaiseas gach puing air plèana astar sònraichte ann an stiùireadh sònraichte. Ann am matamataig, thathas gu tric a’ cleachdadh eadar-theangachadh gus nì a ghluasad ann an aon stiùireadh gun a chumadh no a threòrachadh atharrachadh. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbadan co-cheangailte ri eadar-theangachadh matamataigeach gus cuideachadh le luchd-leughaidh tuigse nas fheàrr fhaighinn air a’ bhun-bheachd seo.
Bun-bheachdan Eadar-theangachaidh
Faodar eadar-theangachadh ann an co-chomharran dà-mheudach a chur an cèill le bhith a’ cleachdadh comharradh vectar. Ma thèid puing A(x, y) a eadar-theangachadh leis a’ vectar \((a, b)\), faodar am puing a thig às a sin A' (\(x'\), \(y'\)) obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh na foirmle:
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Càite:
– ’S e \((x, y) \) an co-òrdanachadh tùsail,
– \( (a, b) \) 's e vectar an eadar-theangachaidh,
– \( (x', y') \) nan co-chomharran den toradh eadar-theangachaidh.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Seo eisimpleirean de cheistean a thaobh eadar-theangachadh matamataigeach agus na còmhraidhean mun deidhinn:
Eisimpleir Ceist 1:
Ceist:
Tha puing A aig co-chomharran (3, 4). Eadar-theangaich puing A leis a’ vectar \( (5, -2) \). Obraich a-mach co-chomharran ùra puing A.
Deasbad:
Tha fios air:
Co-chomharran tùsail puing A = (3, 4)
\[ \text{Vector Eadar-theangachaidh} = (5, -2) \]
Cleachd am foirmle eadar-theangachaidh:
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Cuir na luachan an àite:
\[x' = 3 + 5 = 8 \]
[y' = 4 + (-2) = 2]
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig puing A an dèidh eadar-theangachaidh \( (8, 2) \).
Eisimpleir Ceist 2:
Ceist:
Tha co-chomharran bàrr aig triantan A(1, 2)), B(3, 5)), agus C(6, 1). Eadar-theangaich an triantan leis a’ vectar (-2, 4)). Obraich a-mach co-chomharran bàrr an triantan às dèidh eadar-theangachaidh.
Deasbad:
Tha fios air co-chomharran bàrr an triantain agus an vectar eadar-theangachaidh.
Co-chomharran puing A':
[x' = 1 + (-2) = -1]
\[y' = 2 + 4 = 6 \]
An uairsin, \(A' = (-1, 6) \).
Co-chomharran puing B':
[x' = 3 + (-2) = 1]
\[y' = 5 + 4 = 9 \]
An uairsin, \(B' = (1, 9) \).
Co-chomharran puing C':
[x' = 6 + (-2) = 4]
\[y' = 1 + 4 = 5 \]
An uairsin, \(C' = (4, 5) \).
Mar sin, às dèidh an eadar-theangachaidh, is iad co-chomharran mullaichean an triantain ùir \( A'(-1, 6) \), \( B'(1, 9) \), agus \( C'(4, 5) \).
Eisimpleir Ceist 3:
Ceist:
Air a thoirt seachad puing P aig co-chomharran (-3, 0). Obraich a-mach toradh eadar-theangachadh puing P leis a’ vectar (7, -5)).
Deasbad:
Air a thoirt seachad le co-chomharran P agus an vectar eadar-theangachaidh.
Cleachd am foirmle eadar-theangachaidh:
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Cuir na luachan an àite:
[x' = -3 + 7 = 4]
[y' = 0 + (-5) = -5]
Mar sin, is iad co-chomharran toradh an eadar-theangachaidh aig puing P \( (4, -5) \).
Eisimpleir Ceist 4:
Ceist:
Tha puing Q suidhichte aig co-chomharran (4, -3). Ma thèid puing Q a ghluasad gus am bi na co-chomharran ùra a’ fàs (9, 1)), obraich a-mach an vectar gluasaid a chaidh a chleachdadh.
Deasbad:
Tha fios air:
Co-chomharran tùsail = (4, -3)
Co-chomharran an toraidh = (9, 1)
Cleachd am foirmle eadar-theangachaidh gus am vectar (a, b) a lorg):
[x' = x + a]
\[y' = y + b \]
Tha fios air toraidhean an eadar-theangachaidh:
\[ 9 = 4 + a \]
[1 = -3 + b]
Mar sin, faodar an vectar eadar-theangachaidh obrachadh a-mach mar a leanas:
[a = 9 – 4 = 5]
[b = 1 + 3 = 4]
Mar sin, is e \( (5, 4) \) an vectar eadar-theangachaidh a thathar a’ cleachdadh.
Eisimpleir Ceist 5:
Ceist:
Tha puingean oisean aig a’ cheithir-cheàrnach ABCD (A(1, 2)), (B(1, 5)), (C(4, 5)) agus (D(4, 2)). Eadar-theangaich a’ cheithir-cheàrnach leis a’ vectar (3, -1)). Obraich a-mach co-chomharran ùra a’ cheithir-cheàrnaich ABCD.
Deasbad:
Tha fios air:
\[ \text{Vector Eadar-theangachaidh} = (3, -1) \]
Co-chomharran puing A':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
[y' = 2 + (-1) = 1]
An uairsin, \(A' = (4, 1) \).
Co-chomharran puing B':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
[y' = 5 + (-1) = 4]
An uairsin, \(B' = (4, 4) \).
Co-chomharran puing C':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
[y' = 5 + (-1) = 4]
An uairsin, \(C' = (7, 4) \).
Co-chomharran puing D':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
[y' = 2 + (-1) = 1]
An uairsin, \(D' = (7, 1) \).
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig ceithir-cheàrnach ABCD an dèidh eadar-theangachaidh \( A'(4, 1) \), \( B'(4, 4) \), \( C'(7, 4) \), agus \( D'(7, 1) \).
Co-dhùnadh
'S e cruth-atharrachadh glè bhunasach ach cudromach ann an geoimeatraidh a th' ann an eadar-theangachadh. Le bhith a' maighstireachd an dòigh-obrach seo, is urrainn dhuinn diofar obrachaidhean geoimeatrach a dhèanamh, leithid nithean a ghluasad gun an cumadh no am meud atharrachadh.
Le bhith a’ tuigsinn bun-bheachd an eadar-theangachaidh tro na diofar eisimpleirean de dhuilgheadasan a chaidh a dheasbad gu h-àrd, thathar an dòchas gum bi e comasach dha luchd-leughaidh a’ bhun-bheachd seo a thuigsinn agus a chur an sàs nas fheàrr ann an diofar dhuilgheadasan agus ann am fìor bheatha. Tha eadar-theangachadh feumail chan ann a-mhàin ann am matamataig ach cuideachd ann an grunn raointean eile, nam measg fiosaig, grafaigean coimpiutair, agus dealbhadh.
