Eisimpleirean de cheistean a’ beachdachadh air na Puingean Deireannach den Luach Tilleadh as Ìsle agus den Luach Tilleadh as Ìsle

Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbad mu Phuingean anabarrach: Luach Tilleadh as ìsle agus Luach Tilleadh as àirde

Tha a bhith a’ dearbhadh phuingean fìor, na puingean aig a bheil gnìomh a’ ruighinn a luach as ìsle no as àirde, na bhun-bheachd ann an àireamhachd agus mion-sgrùdadh matamataigeach. San artaigil seo, rannsaichidh sinn mar a lorgas sinn agus a nì sinn mion-sgrùdadh air puingean fìor tro ghrunn eisimpleirean de dhuilgheadasan anns a bheil luachan tilleadh as ìsle agus as àirde.

Mìneachaidhean Cuspair agus Teòirimean

Mus bruidhinn sinn air eisimpleirean de dhuilgheadasan, feumaidh sinn tuigse fhaighinn air cuid de bhun-bheachdan agus teòirimean:

1. Puing chudromach: Is e luach \(x \) far a bheil a’ chiad thoradh \(f'(x) \) den ghnìomh \(f(x) \) co-ionann ri neoni no nach eil e ann.
2. Luach Tilleadh as Motha: Is e seo luach \(f(x) \) a tha nas motha na luach \(f(x) \) timcheall air a’ phuing sin.
3. Luach Tilleadh As Ìsle: Is e seo luach \(f(x) \) a tha nas lugha na luach \(f(x) \) timcheall air a’ phuing sin.
4. Teoirim Fermat: Ma tha luach fìor ionadail aig \(f \) aig \(c \) agus ma tha an t-atharrachadh \(f'(c) \) ann, an uairsin \(f'(c) = 0 \).

Eisimpleir Ceist 1: Gnìomh Ceàrnagach

An toiseach, tòisichidh sinn le gnìomh ceàrnagach sìmplidh:

[f(x) = 2x^2 – 4x + 1]

Ceumannan:

1. Lorg a’ chiad tùs-thoradh de \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. Lorg na puingean èiginneach le bhith a’ fuasgladh \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \implies x = 1
\]

3. Obraich a-mach luach na gnìomh aig a’ phuing chudromach:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. Cleachd an dàrna tùs-thoradh gus nàdar a’ phuinge a dhearbhadh:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Leis gu bheil \(f”(1) > 0 \), ’s e puing as ìsle ionadail a th’ anns a’ phuing \(x = 1 \).

Eisimpleir Ceist 2: Gnìomhan Polainomach

A-nis feuchaidh sinn le gnìomh poileanomach nas iom-fhillte:

[g(x) = x^3 – 3x^2 + 2]

Ceumannan:

1. Obraich a-mach a’ chiad thoradh \(g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. Lorg na puingean èiginneach le bhith a’ fuasgladh \( g'(x) = 0 \):
\[
Tha 3x^2 – 6x = 0 a’ ciallachadh gu bheil 3x(x – 2) = 0 a’ ciallachadh gu bheil x = 0 no x = 2
\]

3. Obraich a-mach luach na gnìomh aig a’ phuing chudromach:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. Cleachd an dàrna tùs-thoradh gus nàdar a’ phuinge a dhearbhadh:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{luach as àirde ionadail})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{luach as ìsle ionadail})
\]

Mar sin, tha uasmhéid ionadail aig g(x) aig x = 0 agus as ìsle ionadail aig x = 2.

Eisimpleir Ceist 3: Gnìomhan Thar-ghnèitheach

Seallaidh sinn air gnìomh anns a bheil eas-chruthachadh:

[ h(x) = xe^{-x} ]

Ceumannan:

1. Obraich a-mach a’ chiad thoradh \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}
\]

2. Lorg a’ phuing chudromach le bhith a’ fuasgladh \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 ∫1 – x = 0 ∫x = 1
\]

3. Obraich a-mach luach na gnìomh aig a’ phuing chudromach:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. Cleachd an dàrna tùs-thoradh gus nàdar a’ phuinge a dhearbhadh:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2) e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Leis gu bheil \( h”(1) < 0 \), is e am puing \( x = 1 \) an ìre as àirde ionadail. Eisimpleir de Dhuilgheadas 4: Gnìomhan Reusanta Mu dheireadh, bidh sinn a’ measadh a’ ghnìomh reusanta: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]

Ceumannan: 1. Lorg a’ chiad thoradh a’ cleachdadh riaghailt a’ cho-mheas: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Lorg na puingean èiginneach le bhith a’ fuasgladh \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. Lorg luach na gnìomh aig na puingean èiginneach: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} \× \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] [ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \× \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Cleachd an dàrna tùs gus nàdar a’ phuing a dhearbhadh: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Faodar barrachd àireamhachadh a dhèanamh le bhith ag ath-eadar-dhealachadh \( k'(x) \) a sheallas a bheil \( x = \sqrt{2} \) agus \( x = -\sqrt{2} \) nan uas-luachan ionadail no nan uas-luachan. Co-dhùnadh San artaigil seo, tha sinn air grunn eisimpleirean a dheasbad a sheallas mar a lorgas tu na h-iomairean, is e sin, na luachan as ìsle agus as àirde, de dhiofar sheòrsaichean ghnìomhan. Tha na dòighean a thathar a’ cleachdadh a’ toirt a-steach a’ chiad tùs a lorg gus puingean èiginneach a lorg, an dàrna tùs a chleachdadh gus nàdar nam puingean a dhearbhadh, agus an gnìomh a mheasadh aig na puingean sin. Tha seo a’ toirt bunait làidir airson sgrùdadh nas doimhne a dhèanamh air mion-sgrùdadh gnìomhach ann an àireamhachd.