Eisimpleirean de cheistean agus deasbad mu fheartan ghnìomhan toraidh
’S e bun-bheachd ann an àireamhachd a th’ ann an t-atharrachadh gnìomh a tha air leth feumail airson giùlan ghnìomhan sònraichte a sgrùdadh. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh sinn air feartan an t-atharrachaidh gnìomh.
Ro-ràdh do Dhìolaidhean Gnìomh
Tha an t-atharrachadh de ghnìomh \(f \) air a chur an cèill mar \(f'(x) \). Tha a’ chiad t-atharrachadh de ghnìomh a’ toirt seachad ìre atharrachaidh na gnìomh a thaobh a caochladair neo-eisimeileach. Is e teirm eile a thathas a’ cleachdadh gu tric an t-eadar-dhealachadh. Ma tha \(y = f(x) \), is e an t-atharrachadh de \(f \) a thaobh \(x \):
[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]
Feartan nan Toraidhean Gnìomh
Seo cuid de na feartan cudromach a tha aig an t-atharrachadh de ghnìomh:
1. Lìnealachd: Ma tha \(f(x) \) agus \(g(x) \) nan gnìomhan eadar-dhealaichte, agus ma tha \(c \) na sheasmhach, an uairsin:
\[
\frac{d}{dx} [cf(x) + g(x)] = c f'(x) + g'(x)
\]
2. Riaghailt na Slabhraidh: Airson gnìomh co-dhèanta \( g(f(x)) \):
\[
∫[d}{dx] g(f(x)) = g'(f(x)) ∫[f'(x)]
\]
3. Toradh: Airson nan gnìomhan \( u(x) \) agus \( v(x) \):
\[
\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
4. Co-mheas: Airson nan gnìomhan \( u(x) \) agus \( v(x) \) far a bheil \( v(x) \neq 0 \):
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir 1: A’ dearbhadh an t-atharrachaidh de ghnìomh sìmplidh
Ma tha \(f(x) = 3x^2 + 5x – 4 \). Obraich a-mach an t-atharrachadh a tha aig a’ ghnìomh.
Fuasgladh:
Cleachdaidh sinn na riaghailtean bunaiteach airson eadar-dhealachadh.
\[
f(x) = 3x^2 + 5x – 4
\]
A’ chiad thoradh:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (5x) – \frac{d}{dx} (4)
\]
A’ tomhas gach toraidh:
\[
\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx} (5x) = 5
\]
\[
\frac{d}{dx} (4) = 0
\]
Mar sin:
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Eisimpleir 2: A’ cleachdadh Riaghailt na Slabhraidh
Ma tha an gnìomh (y = (2x^3 – x^2 + 1)^5) air a thoirt seachad, obraich a-mach an t-atharrachadh a tha aig a’ ghnìomh.
Fuasgladh:
Cleachd riaghailt na slabhraidh. Ma tha \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \), faodar an gnìomh ath-sgrìobhadh mar \( y = u^5 \).
An toiseach, lorg an t-atharrachadh de \(y \) a thaobh \(u \):
\[
\frac{dy}{du} = 5u^4
\]
An ath rud, lorg an t-atharrachadh de \(u \) a thaobh \(x \):
\[
u = 2x^3 – x^2 + 1
\]
\[
\frac{du}{dx} = 6x^2 – 2x
\]
Cuir an dà thoradh còmhla leis an riaghailt slabhraidh:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Cuir an àite a-rithist (u = 2x^3 – x^2 + 1):
\[
Σ(dy}{dx) = 5(2x^3 – x^2 + 1)^4 Σ(6x^2 – 2x)
\]
Eisimpleir 3: A’ cleachdadh Riaghailtean Bathar
Ma tha f(x) = x² ex ann, obraich a-mach dè an t-atharrachadh a th' aig a' ghnìomh.
Fuasgladh:
Cleachd riaghailt an toraidh, is e sin, ma tha \( u(x) = x^2 \) agus \( v(x) = e^x \), an uairsin:
\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
An toiseach, obraich a-mach na toraidhean de \(u(x) \) agus \(v(x) \):
\[
u(x) = x^2 \implises u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = e^x \implices v'(x) = e^x
\]
Le bhith a’ cur riaghailtean an toraidh an sàs:
\[
f'(x) = 2x ⋅ e^x + x^2 ⋅ e^x = e^x (2x + x^2)
\]
Eisimpleir 4: A’ cleachdadh Riaghailt a’ Cho-mheasaidh
Ma tha \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \). Lorg an t-atharrachadh den ghnìomh.
Fuasgladh:
Cleachd riaghailt a’ cho-mheas, is e sin ma tha \(u(x) = x^2 + 1 \) agus \(v(x) = x + 2 \), an uairsin:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
An toiseach, obraich a-mach na toraidhean de \(u(x) \) agus \(v(x) \):
\[
u(x) = x^2 + 1 \implises u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = x + 2 a’ ciallachadh v'(x) = 1
\]
Le bhith a’ cur riaghailt an co-mheasgachaidh an sàs:
\[
f'(x) = \frac{2x(x + 2) – (x^2 + 1)(1)}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{2x^2 + 4x – x^2 – 1}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 4x – 1}{(x + 2)^2}
\]
Co-dhùnadh
Ann an àireamhachd, tha tuigse air bun-bheachd nan toraidhean agus na feartan aca deatamach airson diofar dhuilgheadasan matamataigeach fhuasgladh. Tha an t-artaigil seo a’ toirt geàrr-chunntas air grunn dhòighean airson gnìomhan a thoirt a-mach le bhith a’ sealltainn cleachdadh riaghailtean bunaiteach leithid loidhneachd, slabhraidhean, toraidhean, agus co-mheasan tro grunn eisimpleirean agus deasbadan mionaideach. Le bhith a’ tuigsinn agus a’ cleachdadh toraidhean gu tric, is urrainn dhuinn a bhith nas eòlaiche ann a bhith a’ sgrùdadh atharrachaidhean ann an gnìomhan ann an diofar cho-theacsan.
