Eisimpleirean de Dhuilgheadasan a’ Deasbad Cuairteachadh Matamataigeach
Pendahuuan
'S e cruth-atharrachadh geoimeatrach a th' ann an rothladh a lorgar gu tric ann am matamataig, gu h-àraidh geoimeatraidh. Tha rothladh a' toirt a-steach a bhith a' rothladh nì timcheall air puing sònraichte (meadhan an rothlaidh) tro cheàrn sònraichte ann an stiùireadh deiseal no tuathal. Tha bun-bheachd an rothlaidh deatamach ann an raointean leithid grafaigean coimpiutair, fiosaig agus innleadaireachd. Bidh an t-artaigil seo a' sgrùdadh diofar eisimpleirean agus deasbadan mu rothladh ann am matamataig.
A' Tuigsinn Rothladh
'S e cruth-atharrachadh a th' ann an rothladh a ghluaiseas gach puing de nì le bhith ga rothladh timcheall air puing stèidhichte, ris an canar meadhan an rothlaidh, le ceàrn sònraichte ann an stiùireadh sònraichte. Faodar an comharradh coitcheann airson rothladh le ceàrn θ agus meadhan rothlaidh (a, b) a sgrìobhadh mar R_(a, b)(θ).
Airson puing P(x, y) air a rothlachadh le θ ceuman leis a’ mheadhan rothlaidh aig an tùs (0, 0), gheibhear co-chomharran ùra P' (x', y') às dèidh an rothlaidh a’ cleachdadh na foirmle:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Leanamaid air adhart le eisimpleirean de dhuilgheadasan rothlaidh còmhla ris na còmhraidhean aca.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1
Ceist: Obraich a-mach co-chomharran ùra puing A(3, 4) an dèidh a thionndadh 90 ceum tuathal leis an ionad rothlaidh aig an tùs (0, 0).
Deasbad: A’ cleachdadh foirmle an rothlaidh le ceàrn 90 ceum tuathal:
– x’ = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig A' an dèidh rothlachaidh (-4, 3).
Eisimpleir Ceist 2
Ceist: Tha puing B(2, -1) air a rothladh 180 ceum deiseal leis an ionad rothlaidh fhathast aig an tùs (0, 0). Obraich a-mach co-chomharran ùra puing B às dèidh an rothlaidh.
Deasbad: Bheir rothladh 180 ceum deiseal no tuathal an aon toradh, is e sin, bidh co-chomharran a’ phuing ag atharrachadh gu (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig B' (-2, 1).
Eisimpleir Ceist 3
Ceist: Tha puing C(-3, 5) air a rothlachadh 270 ceum tuathal leis an ionad rothlachaidh aig an tùs (0, 0). Obraich a-mach puing C an dèidh an rothlachaidh.
Deasbad: Tha rothladh 270 ceum tuathal co-ionann ri rothladh 90 ceum deiseal.
– x’ = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig C' an dèidh rothlachaidh (5, -3).
Eisimpleir Ceist 4
Ceist: Obraich a-mach co-chomharran ùra puing D(5, 5) an dèidh a thionndadh 45 ceum leis an ionad rothlaidh aig an tùs (0, 0).
Deasbad: A’ cleachdadh foirmle rothlaidh le ceàrn 45 ceum:
– x’ = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig D' an dèidh rothlachaidh (0, 5√2).
Cuairteachadh le Meadhan Cuairteachaidh Gun a bhith aig an Tùs
Chan eil rothlaidhean an-còmhnaidh air an dèanamh timcheall air an tùs. Mar eisimpleir, can gu bheil sinn airson puing a rothladh leis a’ mheadhan rothlaidh (h, k). Gus seo a dhèanamh, feumaidh sinn na co-chomharran atharrachadh mar a leanas:
1. Gluais am puing gus am bi (h, k) na thùs.
2. Cleachd am foirmle rothlaidh.
3. Eadar-theangaich air ais dhan t-suidheachadh tùsail.
Eisimpleir Ceist 5
Ceist: Tha puing E(5, 7) air a rothladh 90 ceum tuathal leis an ionad rothlaidh aig puing (2, 3). Obraich a-mach co-chomharran ùra puing E an dèidh an rothlaidh.
Deasbad:
1. Eadar-theangaich puing E chun an tùs an coimeas ri meadhan an rothlaidh (2, 3):
– Puing ùr E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Cuairtich 90 ceum tuathal timcheall air a’ phuing ùr:
– x’ = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Mar sin, is iad na co-chomharran às dèidh rothlachaidh (-4, 3).
3. Gluasad air ais chun an t-suidheachaidh thùsail an coimeas ri meadhan an rothlaidh (2, 3):
– Puing-crìochnachaidh E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Mar sin, is iad na co-chomharran ùra aig puing E an dèidh rothlachaidh (-2, 6).
Co-dhùnadh
Tha e deatamach gun dèanar mion-sgrùdadh air agus gun tuigear rothlaidhean matamataigeach ann an diofar thagraidhean. Tro na h-eisimpleirean agus na còmhraidhean gu h-àrd, thathar an dùil gum bi luchd-leughaidh a’ tuigsinn mar a bhios foirmlean rothlaidh ag obair agus mar as urrainnear an cur an sàs ann an diofar shuidheachaidhean. Chan e a-mhàin gu bheil an eacarsaich seo a’ neartachadh matamataig bhunasach ach tha e feumail cuideachd ann an raointean eile anns a bheil cruth-atharrachaidhean geoimeatrach.
