Eisimpleirean de Cheistean is Deasbad mu Ath-tharraing Loidhneach
'S e dòigh staitistigeil a th' ann an ath-tharraing loidhneach a thathar a' cleachdadh gus an dàimh eadar dà chaochladair no barrachd a dhearbhadh. Tha an dòigh seo air a chleachdadh gu farsaing ann an diofar raointean, nam measg eaconamas, gnìomhachas, saidheansan sòisealta, agus na saidheansan nàdarra. San artaigil seo bruidhnidh sinn air ath-tharraing loidhneach, mar a nì thu obrachadh a-mach e, agus bheir sinn seachad grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan le mìneachaidhean gus cuideachadh le luchd-leughaidh a' bhun-bheachd seo a thuigsinn gu domhainn.
A’ Tuigsinn Ath-tharraing Loidhneach
'S e dòigh anailis a th' ann an ath-thilleadh loidhneach a thathar a' cleachdadh gus modaladh a dhèanamh air a' cheangal eadar aon no barrachd chaochladairean neo-eisimeileach (ro-innsearan) agus caochladair eisimeileach (freagairt). Tha ath-thilleadh loidhneach sìmplidh a' toirt a-steach aon chaochladair neo-eisimeileach agus aon chaochladair eisimeileach, agus tha ath-thilleadh loidhneach ioma-fhillte a' toirt a-steach barrachd air aon chaochladair neo-eisimeileach.
Is e co-aontar loidhne ath-tharraing loidhneach shìmplidh:
[Y = a + bX]
Càite:
– Is e \(Y \) an caochladair eisimeileach.
– Is e \(X \) an caochladair neo-eisimeileach.
– ’S e (a) an eadar-ghearradh, ’s e sin luach Y nuair a tha X = 0.
– ’S e \(b \) an co-èifeachd ath-tharraing, ’s e sin, dè an ìre gu bheil Y ag atharrachadh ma dh’atharraicheas X le aon aonad.
Ceumannan Ath-tharraing Loidhneach
1. Cruinnich Dàta: An toiseach, cruinnich an dàta a thèid a sgrùdadh.
2. Plota Dàta: Cruthaich plota sgapte gus faicinn a bheil dàimh loidhneach eadar na caochladairean.
3. Obraich a-mach an Co-èifeachd Ath-tharraing: Cleachd dòigh nan ceàrnagan as lugha gus an loidhne as fheàrr a dhearbhadh.
4. A’ dèanamh deuchainn air a’ Mhodail: Dèan deuchainn air cudromachd nan co-èifeachdan ath-tharraing le deuchainn-t agus obraich a-mach an luach R-ceàrnagach gus faicinn dè cho math ’s a tha am modail a’ freagairt air an dàta.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1: Ath-thilleadh Lìnearach Sìmplidh
Ceist:
Tha neach-rannsachaidh airson faighinn a-mach dè an dàimh a th’ ann eadar an àireamh de dh’uairean sgrùdaidh (X) agus sgòran deuchainn nan oileanach (Y). Seo na dàta a fhuaireadh:
| Uairean Sgrùdaidh (X) | Sgòr Deuchainn (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Dèan co-aontar ath-tharraing loidhneach bhon dàta seo!
Deasbad:
1. A’ tomhas a’ chuibheasaich:
\[
∫[2 + 3 + 5 + 7 + 8] = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. A’ tomhas a’ cho-èifeachd ath-tharraing \(b \):
\[
b = \frac{\sum(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum(X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
Tha (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
Tha (sum(X_i – (bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = 80% de 26% de 3.08
\]
3. A’ tomhas an eadar-ghearradh \(a \):
\[
a = \bar{Y} – b \bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 × 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Co-aontar Ath-thilleadh:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Mar sin, is e an co-aontar ath-tharraing loidhneach airson an dàta \(Y = 64.6 + 3.08X \). Tha seo a’ ciallachadh gu bheil dùil gum bi gach uair a bharrachd de sgrùdadh ag àrdachadh sgòr na deuchainn le 3.08 puingean.
Eisimpleir Ceist 2: Deuchainn Modail agus Mìneachadh
Ceist:
A’ leantainn air adhart leis an aon dàta, obraich a-mach luach R-ceàrnagach (R²) gus tomhas dè cho math ’s a tha am modail a’ freagairt ris an dàta. Cuideachd, dèan deuchainn air cudromachd a’ cho-èifeachd ath-tharraing _(b _).
Deasbad:
1. Obraich a-mach Suim Iomlan nan Ceàrnagan (SST), Suim Ath-thilleadh nan Ceàrnagan (SSR), agus Suim Mearachd nan Ceàrnagan (SSE):
\[
SST = \sum(Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum(\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
Far a bheil \( \hat{Y}_i \) na luach ro-innseach den cho-aontar ath-tharraing:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\hat{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\bar{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. A’ tomhas SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. A’ tomhas R-cheàrnagach:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \approx 0.6
\]
Tha luach R-ceàrnagach de 0.6 a’ sealltainn gu bheil am modail seo a’ mìneachadh timcheall air 60% den atharrachadh anns an dàta. Tha seo a’ sealltainn gu bheil an loidhne ath-thilleadh a’ freagairt air an dàta gu math.
4. Deuchainn-t airson Cudromachd Co-èifeachdach (b):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = √SSE/n-2 / √sum(X_i – √X)^2
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = 33.4 / 26 timcheall air 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \approx 2.73
\]
Le staitistig-t de mu 2.73, ma chleachdas sinn stairsneach cumanta airson cudromachd (α = 0.05), bidh sinn ga choimeas ris a’ chlàr-t. Mar eisimpleir, airson df = 3, tha an luach èiginneach t timcheall air 2.353. An uairsin tha an luach èiginneach t air fhaicinn > luach èiginneach t, a’ nochdadh gu bheil an co-èifeachd cudromach.
Co-dhùnadh
San artaigil seo, tha sinn air bunaitean ath-tharraing loidhneach a chòmhdach, mar a nì thu obrachadh a-mach an co-èifeachd ath-tharraing agus an eadar-ghearradh, agus mar a mhìnicheas tu na toraidhean le bhith a’ cleachdadh eisimpleirean de cheistean. Tha cleachdadh tric le diofar sheataichean dàta riatanach gus a bhith fileanta ann a bhith a’ cleachdadh an dòigh seo. Tha ath-tharraing loidhneach na inneal luachmhor ann am mion-sgrùdadh dàta agus faodaidh e lèirsinn dhomhainn a thoirt seachad air na dàimhean eadar caochladairean.
