Eisimpleirean de Cheistean a’ Bruidhinn air Rèididheachd Bodhaig Dhubh
’S e rèididheachd bodhaig-dhubh aon de na bun-bheachdan as bunaitiche ann am fiosaig, gu h-àraidh fiosaig cuantamach agus teirmeadainimig. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air mìneachadh rèididheachd bodhaig-dhubh, na laghan co-cheangailte ris, agus bheir sinn eisimpleirean agus deasbadan gus am bun-bheachd seo a shoilleireachadh tuilleadh.
A’ Tuigsinn Rèididheachd Bodhaig Dhuibh
'S e rud teòiridheach a th' ann an corp dubh a bhios a' gabhail a-steach a h-uile rèididheachd electromagnetic a bhuaileas e, gun tonnan sam bith a nochdadh no a thar-chur. Tha an togalach seo a' dèanamh cuirp dhubha cudromach ann an sgrùdadh rèididheachd teirmeach. Ann an cleachdadh, chan eil cuirp dhubha ann dha-rìribh, ach tha stuthan leithid carbon dubh faisg air an togalach seo.
’S e rèididheachd bodhaig-dhubh an rèididheachd a bhios bodhaig dhubh foirfe a’ leigeil a-mach. Tha an rèididheachd seo an urra ri teòthachd an nì a-mhàin agus tha i air a mhìneachadh leis an speactram rèididheachd bodhaig-dhubh, a bhios ag atharrachadh gu tonnan-fada nas giorra mar a bhios an teòthachd ag èirigh.
Laghan Rèididheachd Bodhaig Dhuibh
Tha grunn laghan cudromach ann a thathar a’ cleachdadh ann an sgrùdadh rèididheachd bodhaig dhubh:
1. Lagh Planck:
Tha an lagh seo a’ toirt cunntas air sgaoileadh speactram rèididheachd bodhaig dhubh agus chaidh a thoirt a-steach le Max Planck ann an 1900. Is e am foirmle:
\[
I(ΔL, T) = \frac{2hc^2}{ΔL^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{ΔL kT}} – 1}
\]
Càite:
– \( I(\lambda, T) \) = dian rèididheachd aig tonn-fhaid \(\lambda\) agus teòthachd \(T\)
– \(h\) = Cunbhalachd Planck (6.62607015 × 10^-34 Js)
– \(c\) = astar solais ann am falamh (3 × 10^8 m/s)
– \(\lambda\) = tonn-fhaid
– \(k\) = cunbhalach Boltzmann (1.380649 × 10^-23 J/K)
– \(T\) = teòthachd a' chuirp dhubh ann an Kelvin
2. Lagh Wien:
Tha lagh Wien a’ dearbhadh an tonn-fhaid aig an dian as motha airson teòthachd sònraichte agus tha e air a thoirt seachad le:
\[
\lambda_{max} = \frac{b}{T}
\]
Càite:
– \(\lambda_{max}\) = tonn-fhaid as àirde
– \(T\) = teòthachd a' chuirp dhubh ann an Kelvin
– \(b\) = Cunbhalach gluasaid Wien (2.8977719 × 10^-3 m K)
3. Lagh Stefan-Boltzmann:
Tha an lagh seo ag ràdh gu bheil an lùth iomlan a thèid a sgaoileadh gach aonad farsaingeachd le corp dubh co-rèireach ris a’ cheathramh cumhachd den teòthachd iomlan aige:
\[
P = ∫T₄
\]
Càite:
– \(P\) = cumhachd gach aonad farsaingeachd
– \(T\) = teòthachd a' chuirp dhubh ann an Kelvin
– \(\sigma\) = cunbhalachd Stefan-Boltzmann (5.670374419 × 10^-8 W·m^-2·K^-4)
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Gus bun-bheachd rèididheachd bodhaig dhubh a shoilleireachadh, seo eisimpleirean de cheistean agus na còmhraidhean mun deidhinn:
Eisimpleir Ceist 1: A’ dearbhadh tonn-fhad agus cumhachd
Ceist:
Tha teòthachd de 3000 K aig corp dubh. Obraich a-mach an tonn-fhaid aig a bheil an dian rèididheachd as àirde a’ tachairt agus obraich a-mach cuideachd an cumhachd a thèid a sgaoileadh gach aonad farsaingeachd leis a’ bhodhaig.
Deasbad:
1. A’ cleachdadh Lagh Gluasaid Wien
Gus an tonn-fhaid aig a bheil an dian rèididheachd as àirde a’ tachairt a dhearbhadh, bidh sinn a’ cleachdadh Lagh Wien:
\[
\lambda_{max} = \frac{b}{T}
\]
An seo tha (b = 2.8977719 × 10⁻³, m · K) agus (T = 3000, K):
\[
ΔL = 2.8977719 × 10⁻⁴/3000 = 9.659 × 10⁻⁴, m = 965.9, nm
\]
Mar sin, tha an tonn-fhaid as àirde mu 966 nm (nanometers), a tha anns an speactram infridhearg.
2. A’ cleachdadh Lagh Stefan-Boltzmann
Gus an cumhachd gach aonad farsaingeachd a thèid a sgaoileadh le corp dubh obrachadh a-mach, bidh sinn a’ cleachdadh Lagh Stefan-Boltzmann:
\[
P = ∫T₄
\]
Le (sigma = 5.670374419 × 10-8, W = m−2, K−4) agus (T = 3000, K):
\[
P = 5.670374419 × 10⁻⁶ × (3000)⁴ timcheall air 4592, W m⁻²
\]
Mar sin, tha an cumhachd a tha air a rèididheachd gach aonad farsaingeachd le corp dubh aig teòthachd 3000 K mu 4592 W/m².
Eisimpleir Ceist 2: Coimeas eadar dian rèididheachd aig diofar theodhachdan
Ceist:
Ma thèid corp dubh a theasachadh bho 2500 K gu 5000 K, ciamar a tha an rèididheachd iomlan a thèid a sgaoileadh bhon bhodhaig an coimeas aig an dà theodhachd seo?
Deasbad:
Gus co-mheas an rèididheachd iomlan a thèid a sgaoileadh aig an dà theodhachd seo a dhearbhadh, bidh sinn a’ cleachdadh Lagh Stefan-Boltzmann:
\[
P_1 = \sigma (2500)^4 agus P_2 = \sigma (5000)^4
\]
Chan fheum sinn an cunbhalach \(\sigma\) obrachadh a-mach gu mionaideach oir is urrainn dhuinn coimeas dìreach a dhèanamh eadar na cumhachdan coimeasach:
\[
\frac{P_2}{P_1} = \frac{\sigma (5000)^4}{\sigma (2500)^4} = \left( \frac{5000}{2500} \right)^4 = 2^4 = 16
\]
Mar sin, tha an rèididheachd iomlan a thèid a sgaoileadh le corp dubh aig teòthachd 5000 K 16 uiread na rèididheachd a thèid a sgaoileadh aig teòthachd 2500 K.
Eisimpleir Ceist 3: Cleachdadh Cunbhalach Planck ann an Lagh Planck
Ceist:
Obraich a-mach dian na rèididheachd aig tonn-fhaid de 500 nm airson corp dubh aig teòthachd 6000 K, a’ cleachdadh Lagh Planck.
Deasbad:
Bidh sinn a’ cleachdadh Lagh Planck:
\[
I(ΔL, T) = \frac{2hc^2}{ΔL^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{ΔL kT}} – 1}
\]
Cuiridh sinn a-steach na luachan agus na meudan seasmhach a tha ann mar-thà:
\[
h = 6.62607015 × 10^{-34} , Js, , c = 3 × 10^8 , m/s, , k = 1.380649 × 10^{-23} , J/K
\]
Airson (lambda = 500, nm = 500 × 10-9 m) agus (T = 6000 K):
\[
I(500 × 10^{-9}, 6000) = \frac{2 × 6.62607015 × 10^{-34} × (3 × 10^8)^2}{(500 × 10^{-9})^5} \frac{1}{e^{\frac{6.62607015 × 10^{-34} × 3 × 10^8}{500 × 10^{-9} × 1.380649 × 10^{-23} × 6000}} – 1}
\]
Às dèidh an eas-chruthachadh agus a roinneadh obrachadh a-mach, gheibhear an luach àireamhach le cuideachadh bho àireamhair saidheansail no bathar-bog matamataigeach oir tha e gu math iom-fhillte a dhèanamh le làimh.
Co-dhùnadh
Tha rèididheachd bodhaig-dhubh a’ toirt sealladh domhainn air saoghal fiosaig agus tha e deatamach do leasachadh teòiridh cuantamach. Le bhith a’ tuigsinn nan laghan a tha a’ riaghladh rèididheachd bodhaig-dhubh agus le bhith comasach air fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan co-cheangailte ris, is urrainn dhuinn tuigse nas fheàrr fhaighinn air iongantas nàdarra leithid an rèididheachd electromagnetic a bhios rionnagan, a’ gabhail a-steach a’ Ghrian, agus nithean eile a’ leigeil a-mach.
