Eisimpleirean de Cheistean agus Deasbadan air Polinomialan agus Gnìomhan Polinomial
Pendahuuan
Tha poileanoman agus gnìomhan poileanomach nan cuspairean cudromach ann am matamataig a nochdas gu tric ann an diofar thagraidhean saidheansail agus innleadaireachd. Is e abairt matamataigeach a th’ ann am poileanomach anns a bheil caochladairean, cunbhalachdan, agus obrachaidhean cur-ris, toirt-air-falbh, agus iomadachaidh, agus tha eas-chruthan neo-àicheil aige. Is e eisimpleir sìmplidh de phoileanomach \( P(x) = x^2 + 2x + 1 \). Is e gnìomh poileanomach gnìomh a tha air a chur an cèill ann an cruth poileanomach. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air eisimpleirean de phoileanoman agus gnìomhan poileanomach, còmhla ris na mìneachaidhean mionaideach aca.
Mìneachadh air Polaineam
Faodar poileanomach ann an aon chaochladair \(x \) a chur an cèill ann an cruth coitcheann mar a leanas:
[P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ∫+ a_1x + a_0]
Càite:
– Is e co-èifeachdan a th’ ann an (a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0) a tha nan àireamhan fìor.
– ’S e \(n \) an cumhachd as àirde a tha na slàn-àireamh neo-àicheil.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1: A’ tomhas luach poileanoim
Ceist:
Ma tha poileanomach againn (P(x) = 3x^3 – 2x^2 + 4x – 5). Obraich a-mach luach (P(2)).
Deasbad:
Gus luach a’ phoileanoim aig ≥ x = 2 obrachadh a-mach, cuiridh sinn 2 an àite ≥ x anns a’ phoileanoim:
[P(2) = 3(2)^3 – 2(2)^2 + 4(2) – 5]
[P(2) = 3 ≥ 8 – 2 ≥ 4 + 4 ≥ 2 – 5]
[P(2) = 24 – 8 + 8 – 5]
\[P(2) = 19 \]
Mar sin, is e 19 luach \(P(2) \).
Eisimpleir Ceist 2: A’ lorg freumhan poileanoim
Ceist:
Lorg freumhan a’ phoileanomain \( P(x) = x^2 – 5x + 6 \).
Deasbad:
Bidh sinn a’ cleachdadh an dòigh factaraidh gus freumhan a’ phoileanoim a lorg:
[P(x) = x^2 – 5x + 6]
[P(x) = (x – 2)(x – 3)]
Mar sin, is iad na freumhaichean \(x = 2 \) agus \(x = 3 \).
Eisimpleir Ceist 3: A’ tomhas toraidhean poileanomach
Ceist:
Ma tha am poileanomach \( P(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 1 \) air a thoirt seachad, obraich a-mach a’ chiad agus an dàrna toraidhean den phoileanomach.
Deasbad:
Is e a’ chiad tùs-thoradh den phoileanomach \(P(x) \):
[P'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 – 3x^2 + 2x – 1)]
[P'(x) = 12x^2 – 6x + 2]
Is e an dàrna tùs den phoileanomach \(P(x) \):
[P”(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 – 6x + 2) \]
[P”(x) = 24x – 6]
Mar sin, is e a’ chiad thoradh de \(P(x) \) \(12x^2 – 6x + 2 \) agus is e an dàrna thoradh \(24x – 6 \).
Eisimpleir Ceist 4: A’ lorg Gnìomh Polainomach bho Phuingean a chaidh a thoirt seachad
Ceist:
Lorg an gnìomh poileanomach dàrna ìre \(P(x) \) a thèid tro na puingean (1, 2), (2, 3), agus (3, 14).
Deasbad:
Tha sinn a’ gabhail ris gu bheil gnìomh poileanomach den dàrna ìre ann den chruth:
[P(x) = ax^2 + bx + c]
Le bhith a’ cur nam puingean an àite a’ phoileanomain:
1) Bho (1, 2): \( a(1)^2 + b(1) + c = 2 \) \(\rightarrow a + b + c = 2 \)
2) Bho (2, 3): \( a(2)^2 + b(2) + c = 3 \) \(\rightarrow 4a + 2b + c = 3 \)
3) Bho (3, 14): \( a(3)^2 + b(3) + c = 14 \) \(\rightarrow 9a + 3b + c = 14 \)
An ath rud, tha siostam de cho-aontaran loidhneach againn:
[a + b + c = 2]
\[4a + 2b + c = 3 \]
\[9a + 3b + c = 14 \]
Bidh sinn a’ fuasgladh an t-siostam cho-aontaran seo:
1) Thoir air falbh an dàrna agus a’ chiad cho-aontar:
\[(4a + 2b + c) – (a + b + c) = 3 – 2 \]
\[3a + b = 1 \]
2) Thoir air falbh an treas agus an dàrna co-aontar:
\[ (9a + 3b + c) – (4a + 2b + c) = 14 – 3 \]
\[5a + b = 11 \]
Bidh sinn a’ fuasgladh siostam nan co-aontaran:
\[3a + b = 1 \]
\[5a + b = 11 \]
Thoir air falbh an dàrna agus a’ chiad cho-aontar:
\[ (5a + b) – (3a + b) = 11 – 1 \]
\[2a = 10 \]
\[ a = 5 \]
Cuir (a = 5) an àite aon de na co-aontaran:
[3(5) + b = 1]
\[ 15 + b = 1 \]
[b = -14]
Cuir a( a = 5) agus b = -14) an àite aon de na co-aontaran tùsail:
[5 + (-14) + c = 2]
[-9 + c = 2]
\[c = 11 \]
Mar sin, is e seo an gnìomh poileanomach a thèid tro na puingean seo:
[P(x) = 5x^2 – 14x + 11]
Penutup
San artaigil seo, tha sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan a dheasbad a tha a’ toirt a-steach poileanomaidean agus gnìomhan poileanomach, còmhla ri mar a dh’fhuasglas sinn iad. Tha na duilgheadasan seo a’ dol bho bhith a’ tomhas luach poileanomach, a’ lorg freumhan poileanomach, ag obrachadh a-mach an t-atharrachadh de phoileanomach, gu bhith a’ lorg gnìomh poileanomach bho phuingean aithnichte. Tha poileanomaidean agus gnìomhan poileanomach nam bunait airson mòran bhun-bheachdan matamataigeach adhartach, leithid mion-sgrùdadh àireamhach, ailseabra loidhneach, agus teòiridh àireamhachd. Tha tuigse air na bunaitean sin deatamach airson soirbheachadh ann an grunn raointean acadaimigeach agus proifeasanta.
