Eisimpleir de Cheist Deasbaid air Co-aontar Cearcaill
’S e cuspair cudromach ann an geoimeatraidh anailiseach a th’ ann an co-aontar cearcaill. Tha tuigse mhath air co-aontar cearcaill air leth feumail, chan ann a-mhàin ann am matamataig ach cuideachd ann an diofar thagraidhean innleadaireachd agus saidheansail. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de cho-aontaran cearcaill agus na fuasglaidhean aca. ’S e an t-amas sealladh farsaing soilleir is coileanta a thoirt seachad air mar a dh’fhuasglas tu duilgheadasan a tha a’ toirt a-steach co-aontaran cearcaill.
Co-aontar Coitcheann Cearcaill
Is e seo an co-aontar as cumanta airson cearcall ann an co-chomharran Cartesian:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Càite:
– \( (a, b) \) nan co-chomharran aig meadhan a’ chearcaill.
– Is e \(r \) radius a’ chearcaill.
Ma tha meadhan a’ chearcaill aig a’ phuing \( (0, 0) \), bidh co-aontar a’ chearcaill mar seo:
[x² + y² = r²]
A-nis, bruidhnidh sinn air beagan eisimpleirean de dhuilgheadasan agus na fuasglaidhean aca.
Eisimpleir Ceist 1
Ceist: Obraich a-mach co-aontar cearcaill aig a bheil meadhan aig puing (3, -2) agus aig a bheil radius de 5.
Fuasgladh:
Cleachd am foirmle choitcheann airson co-aontar cearcaill:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Cuir na luachan a = 3), b = -2, agus r = 5 an àite a chèile:
\[(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Mar sin, is e co-aontar a’ chearcaill:
\[(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Eisimpleir Ceist 2
Ceist: Obraich a-mach co-aontar cearcaill aig a bheil meadhan aig an tùs (0, 0) agus aig a bheil radius de 7.
Fuasgladh:
Leis gu bheil meadhan a’ chearcaill aig an tùs, is urrainn dhuinn an co-aontar sìmplidh a chleachdadh:
[x² + y² = r²]
Cuir an luach r = 7 na àite:
[x² + y² = 7²]
[x² + y² = 49]
Mar sin, is e co-aontar a’ chearcaill:
[x² + y² = 49]
Eisimpleir Ceist 3
Ceist: Obraich a-mach co-aontar cearcaill aig a bheil meadhan aig puing (4, -5) agus a tha a’ beantainn ris an ais-Y.
Fuasgladh:
Tha cearcall a tha na cheangal ris an ais-Y a’ ciallachadh gu bheil an t-astar bhon mheadhan den chearcall chun ais-Y co-ionann ris a radius. ’S e an t-astar seo luach iomlan co-chomharran-X meadhan a’ chearcaill. Mar sin, tha an radius co-ionann ri 4.
Cleachd am foirmle choitcheann airson co-aontar cearcaill:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Cuir na luachan a = 4), b = -5, agus r = 4 an àite a chèile:
\[(x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[(x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Mar sin, is e co-aontar a’ chearcaill:
\[(x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Eisimpleir Ceist 4
Ceist: Tha co-aontar cearcaill (x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0). Obraich a-mach meadhan agus radius a’ chearcaill.
Fuasgladh:
Gus an co-aontar seo fhuasgladh, feumaidh sinn a thionndadh gu cruth àbhaisteach \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Seo na ceumannan gus a chrìochnachadh:
1. Bhuidhneachadh agus fuasgladh cheàrnagan foirfe:
Is e seo a’ cho-aontar tùsail:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Buidheann (x) agus (y):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Fuasgail an ceàrnag foirfe:
Airson (x² – 6x):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Airson (y² + 4y):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Cuir 9 agus 4 ri gach taobh den cho-aontar:
\[ (x^2 - 6x + 9) + (y^ 2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Mar sin, is e co-aontar cearcaill ann an cruth àbhaisteach:
\[(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
À seo, chì sinn gur e \((3, -2) \) meadhan a’ chearcaill agus gur e \(r = \sqrt{25} = 5 \) an radius.
Eisimpleir Ceist 5
Ceist: Obraich a-mach co-aontar a’ chearcaill a tha a’ dol tro na puingean (2, 3) agus (4, 5), agus aig a bheil a mheadhan air an loidhne x = 3.
Fuasgladh:
Bhon cheist, tha fios againn gur e (3, b) meadhan a’ chearcaill. Tha an cearcall cuideachd a’ dol tro dhà phuing aithnichte. Leis gu bheil an cearcall a’ dol tro (2, 3), is e an radius an t-astar bhon mheadhan chun na puing seo.
Is e co-aontar cearcaill:
[(x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Puing ionadachaidh (2, 3):
[(2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2]
[1 + (3 – b)^2 = r^2]
[(3 – b)^2 = r^2 – 1]
Puing ionadachaidh (4, 5):
[(4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2]
[1 + (5 – b)^2 = r^2]
[(5 – b)^2 = r^2 – 1]
Bho na dà cho-aontar, tha fios againn gu bheil (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Mar sin:
[3 – b = pm(5 – b)]
Mura h-eil 3 – b = 5 – b ann, chan urrainn don toradh a bhith fìor. Mar sin:
[3 – b = -(5 – b)]
\[b = 4 \]
Le b = 4, is e co-aontar a’ chearcaill:
\[(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Ach, is urrainn dhuinn an radius r obrachadh a-mach bhon astar eadar an ionad agus a’ phuing (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Is e co-aontar a’ chearcaill:
\[(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Co-dhùnadh
Faodaidh tuigse air co-aontar cearcaill fuasgladh fhaighinn air mòran dhuilgheadasan matamataigeach nas sìmplidhe. Anns gach cùis, tha e deatamach an t-ionad agus an radius aithneachadh. Tha sinn an dòchas gun toir na eisimpleirean de dhuilgheadasan seo agus na mìneachaidhean orra soilleireachadh dhut agus gun cuidich iad thu gus co-aontar cearcaill ionnsachadh. Bidh cleachdadh a’ dèanamh foirfe ann am matamataig, mar sin na bi leisg feuchainn ri diofar dhuilgheadasan gus do sgilean a leasachadh.
