Eisimpleir de Cheistean Deasbaid mu Mhion-atharrachadh
Is e permutation ath-eagrachadh seata no nithean ann an òrdugh sònraichte. Ann am matamataig, thathas a’ cleachdadh a’ bhun-bheachd seo gu cumanta gus obrachadh a-mach cia mheud dòigh anns an gabh buidheann de nithean a chur air dòigh. Gu h-ìosal, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan permutation agus na mìneachaidhean coileanta aca.
Mìneachadh air Permutation
Is e atharrachadh seata ath-eagrachadh nan eileamaidean aige ann an òrdugh sònraichte. Ma tha \(n \) nithean ann, tha an atharrachadh air a chomharrachadh le \(P(n) \) no nas mionaidiche, \(P(n, r) \) airson \(r \) atharrachaidhean de \(n \) nithean. Is e am foirmle bhunasach airson atharrachadh:
\[ P(n) = n! \]
far a bheil \(n! \) (n factorial) na thoradh nan slàn-àireamhan dearbhach uile nas lugha na no co-ionann ri \(n \).
Aig an aon àm, is e foirmle an permutation \(r \) de \(n \) nithean:
[P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!} \]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Eisimpleir Ceist 1
Problem:
Cia mheud dòigh as urrainnear 4 leabhraichean eadar-dhealaichte a chur air sgeilp?
Deasbad:
Gus 4 leabhraichean eadar-dhealaichte a chur ann an òrdugh, is urrainn dhuinn am foirmle permutation a chleachdadh gus na h-uile rèiteachadh a dh’ fhaodadh a bhith ann de na leabhraichean obrachadh a-mach:
[P(4) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24]
Mar sin, tha 24 dòigh ann airson 4 leabhraichean eadar-dhealaichte a chur air sgeilp.
Eisimpleir Ceist 2
Problem:
Cia mheud dòigh a tha ann airson 3 buill de sgioba 5-bhuill a thaghadh agus a chur ann an òrdugh sònraichte?
Deasbad:
Bidh sinn a’ cleachdadh foirmle an permutation \( P(n, r) \) far a bheil \( n = 5 \) agus \( r = 3 \):
[P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 × 4 × 3 × 2!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60 \]
Mar sin, tha 60 dòigh ann airson 3 buill de sgioba 5-bhuill a thaghadh agus an cur ann an òrdugh sònraichte.
Eisimpleir Ceist 3
Problem:
Co mheud dòigh as urrainnear am facal “MATH” a chur air dòigh gus nach bi litrichean sam bith ag ath-aithris?
Deasbad:
Tha am facal "MATH" air a dhèanamh suas de cheithir litrichean eadar-dhealaichte. Is urrainn dhuinn am foirmle permutation a chleachdadh gus na h-uile rèiteachadh a dh’ fhaodadh a bhith ann de na litrichean seo obrachadh a-mach:
[P(4) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24]
Mar sin, tha 24 dòigh ann airson na litrichean anns an fhacal “MATH” a chur ann an òrdugh.
Eisimpleir Ceist 4
Problem:
Bho na h-àireamhan 1, 2, 3, 4, 5, cia mheud àireamh 3-dhigitach a ghabhas cruthachadh mura tèid figearan sam bith ath-aithris?
Deasbad:
Gus àireamh 3-dhigitach a chruthachadh bho 5 figearan eadar-dhealaichte far nach eil figear sam bith air ath-aithris, bidh sinn a’ cleachdadh an t-atharrachadh \( P(5, 3) \):
[P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 × 4 × 3 × 2!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60 \]
Mar sin, tha 60 dòigh ann air àireamh 3-dhigitach a chruthachadh bho na h-àireamhan 1, 2, 3, 4, agus 5 gun àireamh sam bith ath-aithris.
Eisimpleir Ceist 5
Problem:
Tha 6 cluicheadairean ann, A, B, C, D, E, agus F. Thèid an cur ann an òrdugh nan 3 as àirde airson a’ gheama. Cia mheud dòigh as urrainnear na trì cluicheadairean a chur ann an òrdugh?
Deasbad:
An seo, thathar ag iarraidh oirnn 3 cluicheadairean a chur ann an òrdugh sònraichte a-mach à 6 cluicheadairean gu h-iomlan. Is e am foirmle a thathar a’ cleachdadh an t-atharrachadh \(P(n, r) \) far a bheil \(n = 6 \) agus \(r = 3 \):
[P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 × 5 × 4 × 3!}{3!} = 6 × 5 × 4 = 120 \]
Mar sin, tha 120 dòigh ann airson 3 de na 6 cluicheadairean a chur ann an òrdugh sònraichte.
Eisimpleir Ceist 6
Problem:
Obraich a-mach cia mheud atharrachadh a tha ann air an fhacal “OILTHIGH” gus am bi na fuaimreagan an-còmhnaidh ri taobh a chèile.
Deasbad:
Tha am facal “OLTHAIGH” air a dhèanamh suas de 11 litrichean, agus is iad na fuaimreagan U, I, E, I, A. Smaoinich air a’ bhuidheann seo de fhuaimreagan mar aon aonad.
Mar sin, tha againn: (UIIEIA), N, V, R, S, T, agus S (air am meas mar aon aonad). An uairsin feumaidh sinn na 7 aonadan seo a chur ann an òrdugh:
\[P(7) = 7! = 5040 \]
Ach, anns a’ bhuidheann ghutha (UIIEIA), faodar an cur air dòigh ann an:
\[P(5) = 5! = 120 \]
Mar sin, is iad na h-atharrachaidhean iomlan:
[7! x 5! = 5040 x 120 = 604800]
Mar sin, tha 604800 dòigh ann airson am facal “OLTHIGH” a chruthachadh far a bheil na fuaimreagan uile an-còmhnaidh ri taobh a chèile.
Co-dhùnadh
’S e permutation rèiteachadh nithean no seataichean ann an òrdugh sònraichte, agus tha iomadh cleachdadh aig a’ bhun-bheachd seo ann an diofar raointean, nam measg matamataig, saidheans coimpiutaireachd, agus staitistig. Le bhith a’ comharrachadh agus a’ cur an gnìomh am foirmle iomchaidh, is urrainn dhuinn gu furasta an àireamh de rèiteachaidhean a dh’ fhaodadh a bhith ann obrachadh a-mach.
Tha na h-eisimpleirean a tha air an toirt seachad a’ sealltainn mar a bhios foirmlean permutation ag obair agus mar as urrainnear an cur an sàs ann an grunn shuidheachaidhean. Tha tuigse mhionaideach air permutations riatanach airson fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan co-mheasgaichte iom-fhillte agus tha e air leth luachmhor ann a bhith a’ leasachadh loidsig fuasgladh-cheistean.
