Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Sgrìobhadh Dhiofar-dhleastanasan Gnìomh
’S e bun-bheachd ann an àireamhachd a th’ ann an toraidh gnìomh, air a chleachdadh gu tric ann an diofar raointean saidheans, leithid fiosaig, eaconamas, bith-eòlas agus innleadaireachd. Bidh toraidh gnìomh a’ tomhas cho luath sa bhios a luach ag atharrachadh a thaobh atharrachaidhean anns na caochladairean neo-eisimeileach aige. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan a tha a’ toirt a-steach sgrìobhadh toraidh gnìomh, còmhla ri mìneachaidhean.
Eisimpleir Ceist 1: Toradh Gnìomhan Sìmplidh
Ceist: Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).
Deasbad:
Gus a’ chiad thoradh de ghnìomh f(x) a dhearbhadh, bidh sinn a’ cleachdadh riaghailtean bunaiteach an eadar-dhealachaidh, is iad sin:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Mar sin, is urrainn dhuinn an t-atharrachadh de gach teirm san ghnìomh obrachadh a-mach mar a leanas:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 ⋅ 2x^{2-1} + 5 ⋅ 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Mar sin, is e a’ chiad thoradh den ghnìomh \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) \( f'(x) = 6x + 5 \).
Eisimpleir Ceist 2: Toraidhean Gnìomhan Triantan-eòlach
Ceist: Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh ∫g(x) = ∫sin(x) + ∫cos(x)∫).
Deasbad:
Bidh sinn a’ cleachdadh nan riaghailtean bunaiteach airson toraidhean airson gnìomhan trigonometric:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin(x)
\]
Mar sin:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) + \frac{d}{dx}(cos(x))
\]
\[
g'(x) = ∫cos(x) – ∫sin(x)
\]
Mar sin, is e a’ chiad thoradh den ghnìomh (g(x) = sin(x) + cos(x)) (g'(x) = cos(x) – sin(x)).
Eisimpleir Ceist 3: Toradh Gnìomh Iomadachaidh
Ceist: Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh \( h(x) = x^2 \sin(x) \).
Deasbad:
Airson gnìomhan a tha nan toradh de dhà ghnìomh, bidh sinn a’ cleachdadh riaghailt an iomadachaidh:
\[
\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Ma tha u(x) = x^2 agus v(x) = sin(x), an uairsin:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) = \cos(x)
\]
A’ cleachdadh riaghailt iomadachaidh, is urrainn dhuinn sgrìobhadh:
\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)
\]
Mar sin, is e a’ chiad thoradh den ghnìomh (h(x) = x² sin(x)) (h'(x) = 2x sin(x) + x² cos(x)).
Eisimpleir Ceist 4: Toradh Gnìomh Co-dhèanamh
Ceist: Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh \(k(x) = \sin(x^2) \).
Deasbad:
Airson gnìomhan a tha nan co-dhèanamh de dhà ghnìomh, bidh sinn a’ cleachdadh riaghailt an t-slabhraidh:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Biodh f(u) = sin(u) agus u = x². An uairsin (f'(u) = cos(u) agus g'(x) = frac{d}{dx}(x²) = 2x).
A’ cleachdadh riaghailt na slabhraidh, is urrainn dhuinn sgrìobhadh:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx} [sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Mar sin, is e a’ chiad thoradh den ghnìomh \(k(x) = \sin(x^2) \) \(k'(x) = 2x \cos(x^2) \).
Eisimpleir Ceist 5: Toradh Gnìomhan Reusanta
Duilgheadas: Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Deasbad:
Airson gnìomhan a tha nan co-mheas de dhà ghnìomh, bidh sinn a’ cleachdadh riaghailt a’ cho-mheas:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Ma tha u(x) = 2x agus v(x) = x² + 1. An uairsin:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
A’ cleachdadh riaghailt an co-mheasgachaidh, is urrainn dhuinn sgrìobhadh:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x ⋅ 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Mar sin, is e a’ chiad thoradh den ghnìomh \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
Co-dhùnadh
San artaigil seo, tha sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan a tha a’ toirt a-steach toraidhean ghnìomhan a dheasbad, a’ dol bho ghnìomhan sìmplidh, gnìomhan trigonometric, iomadachadh, co-dhèanamh, agus gnìomhan reusanta. Tha gach eisimpleir a’ sealltainn mar a chleachdar riaghailtean toraidhean gu ceart, leithid an riaghailt bhunasach, riaghailt an t-slabhraidh, riaghailt an iomadachaidh, agus riaghailt a’ cho-mheasair. Tha e deatamach tuigse fhaighinn air mar a chuireas tu na riaghailtean seo an sàs airson fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan àireamhachd nas iom-fhillte thar diofar chuspairean. Cuidichidh cleachdadh agus trèanadh a-rithist is a-rithist le bhith a’ neartachadh do thuigse agus do sgilean ann an diofarachadh ghnìomhan.
