Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Cleachdadh Co-mheasan Triantan-eòlach
'S e meur de mhatamataig a th' ann an triantanachd a bhios a' sgrùdadh nan dàimhean eadar taobhan agus ceàrnan thriantan. Tha tuigse air triantanachd deatamach oir tha e air a chleachdadh gu tric ann an diofar raointean, nam measg ailtireachd, innleadaireachd, reul-eòlas, agus eadhon crioptagrafaireachd. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh e orra ann an co-theacsa cleachdadh cho-mheasan triantanachd.
Bun-bheachdan Triantanachd
Mus tèid sinn a-steach do na duilgheadasan eisimpleir, leig dhuinn sùil a thoirt air cuid de bhun-bheachdan ann an triantanachd. Ann an triantan ceart-cheàrnach, tha trì prìomh ghnìomhan triantanachd a thathas a’ cleachdadh gu tric: sine, cosine, agus tangens.
– ’S e sine (sin) ceàrn an co-mheas eadar fad an taobh mu choinneamh na ceàrn agus fad an hypotenuse.
\[
sin \theta = \frac{\text{taobh aghaidh}}{\text{hipotenuse}}
\]
– ’S e cosine (cos) ceàrn an co-mheas eadar fad an taobh ri taobh na ceàrn agus fad an hypotenuse.
\[
cos theta = \frac{\text{taobh ri thaobh}}{\text{hipotenuse}}
\]
– ’S e tangant (tan) ceàrn an co-mheas eadar fad an taobh mu choinneamh na ceàrn agus fad an taobh ri taobh na ceàrn.
\[
tan \theta = \frac{\text{taobh aghaidh}}{\text{taobh taobh}}
\]
Eisimpleir Ceist 1: A’ tomhas àirde an tùir
Ceist: Tha neach-amhairc a’ seasamh 50 meatair bho thùr agus a’ tomhas ceàrn àirde mullach an tùir mar 30 ceum. Obraich a-mach àirde an tùir.
Fuasgladh: Gus an duilgheadas seo fhuasgladh, is urrainn dhuinn an gnìomh tangent a chleachdadh ann an trigonometry. Leis gu bheil fios againn air ceàrn an àirde agus an t-astar còmhnard bhon neach-amhairc chun an tùir, is urrainn dhuinn sgrìobhadh:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{àirde an tùir}}{\text{astar còmhnard}}
\]
Cuir na luachan aithnichte an àite:
\[
Tha an t-suim 30⁻⁴ = ∫(h)/50⁻⁴
\]
Tha fios againn gu bheil \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), agus mar sin:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
An uairsin gheibhear àirde an tùir, \(h\), le bhith ag iomadachadh an dà thaobh den cho-aontar le 50:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{meatair}
\]
Tha àirde an tùir mu 28.87 meatairean.
Eisimpleir Ceist 2: A’ dearbhadh astar le bhith a’ cleachdadh cosine
Ceist: Tha soitheach a’ dol 10 cilemeatair an ear, an uairsin ag atharrachadh cùrsa 60 ceum gu tuath agus a’ seòladh 15 cilemeatair. Obraich a-mach an t-astar bhon àite tòiseachaidh chun an t-soithich.
Deasbad: Gus an duilgheadas seo fhuasgladh, is urrainn dhuinn riaghailt a’ chosine a chleachdadh ann an triantanachd. Ma nì sinn plota air turas na luinge ann an siostam co-òrdanachaidh, gheibh sinn triantan le taobhan 10 km agus 15 km, agus ceàrn 60 ceum. Is urrainn dhuinn riaghailt a’ chosine a chleachdadh gus an t-astar eadar puing tòiseachaidh na luinge agus a suidheachadh mu dheireadh a lorg.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Càite:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Cuir na luachan aithnichte an àite:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ cos 60^circ
\]
Tha fios againn gu bheil \(cos 60^circ = 0.5\), an uairsin:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = 175 meatairean ceàrnagach, timcheall air 13.23 cilemeatair
\]
Mar sin tha an t-astar bhon àite tòiseachaidh chun na luinge mu 13.23 km.
Eisimpleir Ceist 3: A’ cleachdadh Sine gus Taobhan Triantan a dhearbhadh
Ceist: Ann an triantan, tha dà thaobh 7 cm agus 10 cm a dh'fhaid, le ceàrn eatorra de 45 ceum. Obraich a-mach fad an treas taobh den triantan.
Deasbad: Is urrainn dhuinn lagh nan sines a chleachdadh gus an duilgheadas seo fhuasgladh. Ann an lagh nan sines, airson triantan le taobhan _(a), _(b), agus _(c) agus ceàrn _(C) eadar taobhan _(a) agus _(b):
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Ach, sa chùis seo, is urrainn dhuinn lagh nan cosines a chleachdadh gu dìreach gus cùisean a dhèanamh nas fhasa. Tha lagh nan cosines ag ràdh:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Càite:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
(cos 45^circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), agus mar sin:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
A’ tomhas luach \(c \):
\[
c \approx \sqrt{149 – 70 \sqrt{2}} \approx 5.97 \, \text{cm}
\]
Mar sin, tha fad an treas taobh den triantan mu 5.97 cm.
Co-dhùnadh
Tha triantanachd na inneal glè fheumail airson diofar dhuilgheadasan a tha a’ buntainn ri triantanan agus ceàrnan fhuasgladh. Le deagh thuigse air sine, cosine, tangent, agus laghan triantanachd, is urrainn dhuinn mòran dhuilgheadasan practaigeach fhuasgladh. Tha an t-artaigil seo a’ beachdachadh air grunn eisimpleirean de bhith a’ cleachdadh co-mheasan triantanachd, agus tha sinn an dòchas gun cuidich e le luchd-leughaidh an tuigse a leasachadh.
