Eisimpleir de Cheistean Deasbaid Modh nan Ceàrnagan as Lugha
’S e dòigh staitistigeil a th’ ann an Modh nan Ceàrnagan as Lugha (LEM) a thathar a’ cleachdadh gus an loidhne as fheàrr a lorg a bhios a’ ro-innse dàta san dòigh as èifeachdaiche. Bithear tric a’ cleachdadh an dòigh seo ann an mion-sgrùdadh ath-tharraing loidhneach gus an dàimh eadar caochladairean neo-eisimeileach agus eisimeileach a lorg. Còmhdaichidh an t-artaigil seo bun-bheachdan modh nan ceàrnagan as lugha, còmhla ri eisimpleirean agus mìneachaidhean ceum air cheum airson tuigse nas doimhne fhaighinn air mar a tha an dòigh seo ag obair.
Bun-bheachdan Modh nan Ceàrnagan as Lugha
Is e amas dòigh nan ceàrnagan as lugha suim cheàrnagan nan eadar-dhealachaidhean eadar na luachan a chaidh fhaicinn agus na luachan a chaidh a ro-innse leis a’ mhodail ath-tharraing a lughdachadh. Faodar co-aontar loidhne ath-tharraing loidhneach shìmplidh a sgrìobhadh mar:
[y = a + bx]
Càite:
– ’S e \(y \) an caochladair eisimeileach,
– ’S e \(x \) an caochladair neo-eisimeileach,
– ’S e (a) an eadar-ghearradh (luach (y) nuair a tha (x = 0)),
– \(b \) 'S e claonadh na loidhne (claonadh, no co-èifeachd ath-tharraing).
Bidh an dòigh as lugha de cheàrnagan a’ measadh nam paramadairean a agus b a lughdaicheas an gnìomh a leanas:
[ SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 ]
Far a bheil SSE na Suim de Mhearachdan Ceàrnagach, is e y_i an luach fìor, agus is e y_i = a + bx_i an luach ro-innseach.
Ceumannan Modh nan Ceàrnagan as Lugha
Gus am bun-bheachd a shoilleireachadh, fuasglaidh sinn eisimpleir de dhuilgheadas a tha a’ toirt a-steach cleachdadh dòigh nan ceàrnagan as lugha.
Eisimpleir de dhuilgheadasan
Air sgàth an dàta a leanas:
| x (Uairean sgrùdaidh) | y (Sgòr deuchainn) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Obraich a-mach an loidhne ath-tharraing loidhneach a fhreagras as fheàrr air an dàta.
Deasbad
1. A’ tomhas cuibheasachd \( \bar{x} \) agus \( \bar{y} \)
\[
∫[x] = ∫[sum x_i]/∫[n] = ∫[2 + 4 + 6 + 8 + 10]/∫[5} = 6]
\]
\[
∫(y) = ∫(sum y_i) = ∫(81 + 93 + 91 + 97 + 103) = 93
\]
2. A’ tomhas paramadair \(b \) (leòd)
Tha am paramadair \(b \) air a thomhas le:
\[
b = \frac{\sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum(x_i – \bar{x})^2}
\]
A’ tomhas gach pàirt:
\[
(sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Mar sin:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. A’ tomhas a’ pharaimeadar \(a \) (eadar-ghearradh)
A’ cleachdadh cuibheasachd \( \bar{x} \) agus \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b \bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. A’ sgrìobhadh co-aontar na loidhne-ath-thilleadh
Leis na paramadairean a lorgar, is urrainn dhuinn co-aontar na loidhne ath-tharraing a sgrìobhadh:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Mìneachadh agus Dearbhadh
Gus dèanamh cinnteach gu bheil an loidhne ath-tharraing seo a’ freagairt, is urrainn dhuinn an luach-y ro-innseach (\(\hat{y}\)) obrachadh a-mach airson gach x anns an dàta tùsail, a bharrachd air Suim nam Mearachdan Ceàrnagach (SSE) obrachadh a-mach gus cruinneas an ro-innse a dhearbhadh.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y - \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Le SSE car beag, is urrainn dhuinn a cho-dhùnadh gu bheil an loidhne ath-thilleadh a chaidh a thoirt a-mach leis an dòigh nan ceàrnagan as lugha freagarrach airson an dàta seo.
Co-dhùnadh
’S e inneal cumhachdach airson mion-sgrùdadh staitistigeil a th’ ann an Dòigh nan Ceàrnagan as Lugha airson an loidhne as fheàrr a fhreagras air seata dàta a dhearbhadh, a’ lughdachadh mearachd ro-innse stèidhichte air ceàrnag nan diall. Le bhith a’ cleachdadh nan ceumannan airson a’ chuibheasachd obrachadh a-mach, an leathad agus an eadar-ghearradh a mheasadh, agus co-aontar na loidhne ath-tharraing a sgrìobhadh agus a dhearbhadh, is urrainn dhuinn luach a’ chaochladair eisimeileach a ro-innse gu ceart bho na caochladairean neo-eisimeileach.
Tha tuigse mhath air an dòigh seo air leth feumail ann an raointean leithid eaconamas, bith-staitistig, innleadaireachd, agus na saidheansan sòisealta far a bheilear a’ cleachdadh mion-sgrùdadh ath-tharraing gu tric. Tha an artaigil seo, le eisimpleirean concrait, a’ mìneachadh cho cudromach agus cho feumail sa tha an dòigh-obrach seo ann am mion-sgrùdadh dàta.
