Eisimpleirean de Cheistean Deasbaid A’ Fuasgladh Dhuilgheadasan le Gnìomhan Ceàrnagach
San artaigil seo, ionnsaichidh sinn mar a dh’fhuasglas sinn duilgheadasan le bhith a’ cleachdadh gnìomhan ceàrnagach le bhith a’ toirt seachad eisimpleirean agus ceumannan deasbaid mionaideach. Is e gnìomh ceàrnagach gnìomh poileanomach den dàrna ìre aig a bheil an cruth coitcheann _(ax^2 + bx + c _), far a bheil _(a _), _(b _), agus _(c _) nan cunbhalachdan agus _(a _neq 0 _). Bidh gnìomhan ceàrnagach ann an diofar cho-theacsan gu tric a’ nochdadh ann am fiosaig, eaconamas agus innleadaireachd, ga dhèanamh na chuspair glè chudromach airson a mhaighstir.
Tòisichidh sinn le bhith a’ beachdachadh air cuid de bhun-bheachdan agus an uairsin thèid sinn gu cuid de dhuilgheadasan eisimpleireach.
Bun-bheachdan Gnìomhan Ceàrnagach
1. Cruth Coitcheann: Tha an gnìomh ceàrnagach air a chur an cèill mar \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
2. Freumhan Ceàrnagach: Gheibhear freumhan a’ cho-aontar cheàrnagach \( ax^2 + bx + c = 0 \) le bhith a’ cleachdadh na foirmle cheàrnagach, is e sin:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
3. Discriminant: Is e discriminant co-aontar ceàrnagach \( D = b^2 – 4ac \). Tha luach an discriminant a’ sealltainn nàdar freumhan a’ cho-aontar ceàrnagach:
– Ma tha \(D > 0 \), tha dà fhreumh fhìor eadar-dhealaichte aige.
– Ma tha \( D = 0 \), tha aon fhreumh fhìor aige (freumh càraid).
– Ma tha \( D < 0 \), tha dà fhreumh iom-fhillte co-cheangailte aige. 4. Buinn Parabola: Gheibhear co-chomharran buinn parabola a chruthaichear le gnìomh ceàrnagach le bhith a’ cleachdadh na foirmle: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Airson luach \( y \) aig a’ bhuinn, faodar a thomhas le bhith a’ cur \( x \) a-steach don ghnìomh ceàrnagach.
– Ma tha (a < 0), fosglaidh am parabola sìos. Leis na bun-bheachdan seo uile nar n-aire, chì sinn mar as urrainn dhuinn an cur an sàs ann am fuasgladh cheistean. Eisimpleir de Dhuilgheadas 1: A’ lorg freumhan gnìomh ceàrnagach Duilgheadas: Lorg freumhan a’ cho-aontar ceàrnagach (2x^2 - 3x - 2 = 0). Fuasgladh: Gus freumhan co-aontar ceàrnagach a lorg, is urrainn dhuinn am foirmle ceàrnagach a chleachdadh. Seo na ceumannan: 1. Comharraich na co-èifeachdan (a), (b), agus (c): [a = 2, b = -3, c = -2] 2. Obraich a-mach an sgaradh: [D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4² (-2) = 9 + 16 = 25] 3. Leis gu bheil (D > 0), bidh dà fhreumh fhìor eadar-dhealaichte againn. Lean air adhart le bhith ag obrachadh a-mach na freumhan seo:
\[
x_{1,2} = \frac{-(-3) ⋅m²^25}{2 ⋅2} = \frac{3 ⋅m²}{4}
\]
4. Obraich a-mach dà luach de \(x \):
\[
x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \text{agus} \quad x_2 = \frac{3 – 5}{4} = -\frac{1}{2}
\]
Mar sin, is iad freumhan a’ cho-aontar (2x^2 – 3x – 2 = 0) (x = 2) agus (x = -\frac{1}{2}).
Eisimpleir Ceist 2: A’ lorg Co-chomharran Beinn Parabola
Ceist:
Lorg co-chomharran bàrr na gnìomh ceàrnagach \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \).
Deasbad:
Gus co-chomharran na beinne a lorg, cleachd foirmle co-chomharran na beinne:
1. Comharraich na co-èifeachdan a agus b:
\[
a = 3, b = -6
\]
2. Obraich a-mach \(x \) aig a’ mhullach:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 ≤ 3} = \frac{6}{6} = 1
\]
3. Obraich a-mach \(y \) le bhith a’ cur \(x = 1 \) a-steach don ghnìomh \(f(x) \):
\[
f(1) = 3(1)^2 – 6(1) + 2 = 3 – 6 + 2 = -1
\]
Mar sin, is iad co-chomharran bàrr na gnìomha \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \) \( (1, -1) \).
Eisimpleir Ceist 3: A’ dearbhadh Stiùireadh Fosglaidh Parabola
Ceist:
Obraich a-mach stiùireadh fosglaidh a’ pharabola den ghnìomh ceàrnagach \( f(x) = -x^2 + 4x – 7 \).
Deasbad:
Gus stiùireadh fosglaidh a’ pharabola a dhearbhadh, bidh sinn dìreach a’ coimhead air soidhne a’ cho-èifeachd \( a \):
1. Comharraich an co-èifeachd \(a \):
\[
a = -1
\]
2. Leis gu bheil \( a < 0 \), bidh am parabal a’ fosgladh sìos. Mar sin, tha stiùireadh fosglaidh a’ pharabola den ghnìomh \( f(x) = -x^2 + 4x - 7 \) sìos. Eisimpleir 4: A’ cur Gnìomhan Ceàrnagach an sàs ann an Co-theacsan Fìor-bheatha
Ceist: Tha ball air a thilgeil bhon talamh leis a’ cho-aontar ceàrnagach \(h(t) = -5t^2 + 20t \), far a bheil \(h \) na àirde a’ bhàil ann am meatairean agus \(t \) na ùine ann an diogan. Dè cho fada ’s a bheir e air a’ bhall an àirde as motha aige a ruighinn, agus dè an àirde as motha aige? Deasbad: 1. Lorg an t-àm aig a ruigear an àirde as àirde (co-chomharran na beinne): [a = -5, b = 20] [t = -b}{2a = -20}{2(-5) = 20}{10 = 2 diogan] 2. Obraich a-mach an àirde as àirde le bhith a’ cur (t) a-steach don cho-aontar (h(t)): [h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 meatairean] Mar sin, is e 2 dhiog an ùine a bheir am ball gus an àirde as àirde a ruighinn, agus is e 20 meatair an àirde as àirde aige. Co-dhùnadh San artaigil seo, tha sinn air beachdachadh air diofar thaobhan cudromach de ghnìomhan ceàrnagach a bharrachd air mar a dh’fhuasglas sinn duilgheadasan a tha a’ toirt a-steach gnìomhan ceàrnagach tro grunn eisimpleirean. A’ beachdachadh air freumhan cho-aontaran ceàrnagach, a’ lorg co-chomharran a’ mhullach, a’ dearbhadh stiùireadh fosglaidh parabola, agus a’ cur gnìomhan ceàrnagach an sàs ann an co-theacsan fìor, leithid a bhith a’ toirt cunntas air gluasad nithean. Le tuigse làidir air na bun-bheachdan sin, bidh e comasach dhut dèiligeadh ri diofar dhuilgheadasan matamataigs is saidheans anns a bheil gnìomhan ceàrnagach le barrachd misneachd. Chan e a-mhàin gu bheil gnìomhan ceàrnagach cudromach ann an teòiridh ach tha iad cuideachd air leth feumail ann an tagraidhean fìor agus fuasgladh cheistean thar raon farsaing de raointean.