Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Chearcaill agus Tangents
’S e cearcallan agus suaicheantasan dà chuspair a thathas a’ bruidhinn orra gu tric ann am matamataig, gu h-àraidh aig ìre na h-àrd-sgoile. Tha tuigse air bun-bheachd agus cleachdadh suaicheantasan ri cearcallan deatamach airson d’ eòlas air geoimeatraidh a dhoimhneachadh. Bheir an t-artaigil seo eisimpleirean de dhuilgheadasan agus deasbadan air cearcallan agus suaicheantasan gus tuigse nas doimhne a thoirt do luchd-leughaidh.
Ro-ràdh do Theòiridh nan Cearcallan agus nan Tangentan
Cearcall
Is e cearcall seata de phuingean ann am plèana a tha aig an aon astar bho phuing stèidhichte ris an canar meadhan a’ chearcaill. Canar radius a’ chearcaill ris an astar stèidhichte seo. Gu matamataigeach, faodar cearcall a mhìneachadh leis a’ cho-aontar:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
far a bheil \((a, b)\) nan co-chomharran aig meadhan a’ chearcaill agus \(r\) an radius.
Tangent
Is e loidhne a tha a’ beantainn ris a’ chearcall aig aon phuinge gu dìreach a th’ ann an tangant ri cearcall. Canar puing an tangant ris a’ phuing seo. Is e prìomh fheart tangant gu bheil e ceart-cheàrnach ris an radius a tha air a tharraing bho mheadhan a’ chearcaill chun a’ phuing tangant.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist 1: A’ dearbhadh co-aontar na loidhne-tangant
Ceist:
Ma tha cearcall ann le meadhan aig (2, 3) agus radius 5. Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh ris a’ chearcall aig puing P le co-chomharran (5, 7)).
Deasbad:
Ceum 1: Dèan cinnteach gu bheil am puing \(P \) air a’ chearcall.
Gus sgrùdadh a dhèanamh a bheil \( P (5, 7) \) air cearcall le meadhan \( (2, 3) \) agus radius \( 5 \), cuir co-chomharran \( P \) a-steach do cho-aontar a’ chearcaill:
\[(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
[(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Leis gu bheil an co-ionannachd fìor, tha am puing \(P \) na laighe air a’ chearcall.
Ceum 2: Obraich a-mach claonadh an rèidius a tha a’ dol tro \( (2, 3) \) agus \( (5, 7) \):
[m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Ceum 3: Claonadh na loidhne-suathaidh ceart-cheàrnach ri claonadh an radius (is e -1 claonadh an toraidh):
[m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Ceum 4: Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh a’ cleachdadh a’ phuing \( P (5, 7) \):
[y – y_1 = m (x – x_1)]
[y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5)]
Sìmplich:
[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
[4y – 28 = -3x + 15]
[3x + 4y – 43 = 0]
Mar sin, is e co-aontar na loidhne-suathaidh:
[3x + 4y – 43 = 0]
Ceist 2: A’ dearbhadh Puing an Tadhail bhon Cho-aontar Loidhne
Ceist:
Ma tha cearcall ann leis a’ cho-aontar _(x^2 + y^2 = 25 _) agus loidhne _(y = \frac{3}{4}x + 2 _). Obraich a-mach puing an t-suathaidh eadar an loidhne agus an cearcall.
Deasbad:
Ceum 1: Cuir co-aontar na loidhne an àite co-aontar a’ chearcaill:
Co-aontar cearcaill:
[x² + y² = 25]
Cuir (y = (3/4) x + 2) a-steach don cho-aontar cearcaill:
[x² + (frac{3}{4}x + 2)² = 25]
[x² + (frac{9}{16}x² + (frac{12}{4}x + 4) = 25]
[x² + \frac{9}{16}x² + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
[x² + \frac{9}{16}x² + 3x + 4 = 25 \]
Ceum 2: Sìmplich an co-aontar:
[16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400]
[25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Ceum 3: A’ lorg nam freumhan a’ cleachdadh foirmle ceàrnagach:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}]
[a = 25, b = 48, c = -336]
[x = \frac{-48 pm \sqrt{48^2 – 4 ≥ 25 ≥ (-336)}}{2 ≥ 25}]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
[x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
[x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
A’ taghadh \(x \) dligheach stèidhichte air a’ phuing-suathaidh (cha chruthaich ach aon \(x \) puing-suathaidh):
[x = \frac{141.501}{50} \approx 2.83 \]
[x \timcheall air 2.83 \]
Ceum 4: Cuir \(x \) a-steach do cho-aontar na loidhne gus \(y \) fhaighinn:
[y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[y \timcheall air 2.12 + 2 \]
\[y \timcheall air 4.12 \]
Mar sin, is e (2.83, 4.12)) am puing-beantainn eadar an loidhne (y = \frac{3}{4}x + 2) agus an cearcall (x^2 + y^2 = 25).
Co-dhùnadh
Tha maighstireachd bun-bheachdan chearcaill is tangantan a’ toirt a-steach tuigse air bunaitean geoimeatraidh agus a bhith comasach air fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan le bhith a’ cleachdadh cho-aontaran matamataigeach. Bidh duilgheadasan mar an fheadhainn gu h-àrd a’ cuideachadh oileanaich gus teòiridh a chur an sàs ann an suidheachaidhean nas concrait. Le cleachdadh cunbhalach, thathar an dùil gum bi oileanaich a’ tuigsinn agus a’ fuasgladh dhuilgheadasan nas fhasa.
