Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Crìochan Gnìomhan Triantan-eòlach
Pendahuuan
’S e bun-bheachd ann an àireamhachd a th’ ann an crìoch gnìomh, a’ toirt cunntas air an luach a bhios gnìomh a’ tighinn faisg air fhad ’s a bhios an caochladair aige a’ tighinn faisg air luach sònraichte. Anns a’ chòmhradh seo, cuiridh sinn fòcas air crìochan ghnìomhan trigonometric, a nochdas gu tric ann an diofar thagraidhean matamataig, a’ gabhail a-steach fiosaig, innleadaireachd, agus saidheans coimpiutaireachd.
Tha feartan sònraichte aig gnìomhan trigonometric mar sin(x), cos(x), agus tan(x) a tha a’ dèanamh an àireamhachadh gu math inntinneach. Bruidhnidh an t-artaigil seo air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan co-cheangailte ri crìochan gnìomhan trigonometric, còmhla ri mìneachaidhean mionaideach.
Eisimpleir Ceist 1: Crìoch Sine
Ceist:
Obraich a-mach a’ chrìoch \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{x}\).
Deasbad:
’S e seo aon de na crìochan bunaiteach ann an triantanachd agus thathas ga chleachdadh gu tric ann an diofar dhearbhaidhean agus teòirimean ann an àireamhachd. ’S urrainn dhuinn Riaghailt L’Hôpital no mìneachadh crìoch a chleachdadh gus an duilgheadas seo fhuasgladh.
A’ cleachdadh Mìneachadh Crìche:
Tha fios againn gu bheil \( \sin x \approx x \) fhad ’s a tha \(x \) a’ tighinn faisg air 0 (a’ cleachdadh tuairmse Taylor). Mar sin,
\[
Tha Σ_{x gu 0}} (sin x)/x = Σ_{x gu 0}} (x/x) = 1.
\]
A’ cleachdadh Riaghailt L’Hopital:
Leis gur e \(\frac{0}{0}\) cruth na crìche seo, is urrainn dhuinn Riaghailt L'Hopital a chleachdadh le bhith a’ dèanamh eadar-dhealachadh eadar an àireamhair agus an t-ainmiche.
\[
Σ_{x gu 0}} Σ{sin x}/x} = Σ_{x gu 0}} Σ{d/dx (sin x)}{d/dx (x)} = Σ_{x gu 0}} Σ{cos x}/1} = Σ(0) = 1.
\]
Mar sin, is e 1 an toradh.
Eisimpleir Ceist 2: Crìoch Cosine
Ceist:
Obraich a-mach a’ chrìoch \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2}\).
Deasbad:
Gus an crìoch seo fhuasgladh, is urrainn dhuinn dearbh-aithnean trigonometric no dòigh-obrach dhìreach le Riaghailt L'Hopital a chleachdadh.
A’ cleachdadh dearbh-aithnean triantan-eòlach:
Tha sinn a’ cuimhneachadh air an dearbh-aithne a tha:
[1 – cos x = 2 sin²(frac{x}{2}).]
Mar sin bidh an crìoch a’ fàs:
\[
Tha \lim_{{x \to 0}} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2}.
\]
Le bhith a’ cur (u = \frac{x}{2}) na àite, an uairsin (x = 2u) agus bidh an crìoch ag atharrachadh gu:
\[
Σ_{u gu 0}} \frac{2 \sin^2(u)}{(2u)^2} = \lim_{u gu 0}} \frac{2 \sin^2(u)}{4u^2} = \frac{1}{2} \lim_{u gu 0}} \left( \frac{\sin u}{u} \right)^2 = \frac{1}{2} ⋅ 1^2 = \frac{1}{2}.
\]
A’ cleachdadh Riaghailt L’Hopital:
Is e _(\frac{0}{0}\) an cruth, agus mar sin is urrainn dhuinn Riaghailt L'Hopital a chleachdadh:
\[
Σ_{x gu 0}} Σ_{1 – Σ_{x gu 0}} Σ_{sin x}{2x} = Σ_{x gu 0}} Σ_{cos x}{2} = Σ_{cos 0}{2} = Σ_{1}{2}.
\]
Mar sin, is e an toradh _( \frac{1}{2} \).
Eisimpleir Ceist 3: Crìoch Tangent
Ceist:
Obraich a-mach a’ chrìoch \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x}\).
Deasbad:
Tha an gnìomh \(\frac{\sin x}{\cos x}\) san fhoirm seo, agus tha feum air na crìochan bunaiteach air an do bhruidhinn sinn roimhe a chleachdadh.
\[
∫Cuir seo ri chèile: Tha Σnx/x = Σsinx / cosx/x = Σsinx/cosx ∫Cuir seo ri chèile: Tha Σnx/cosx/x = Σnx/cosx/x
\]
Tha fios againn bhon chrìoch bhunasach gu bheil:
\[
Tha \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{agus} \quad \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = 1.
\]
Mar sin, is e an toradh:
\[
1 ∫1 = 1.
\]
Is e an toradh 1.
Eisimpleir 4: Crìochan Co-fhillte le Sine agus Cosine
Ceist:
Obraich a-mach an crìoch ∫(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(2x)}{\cos(3x) – 1}\).
Deasbad:
Is e _(\frac{0}{0}\) an cruth, agus mar sin is urrainn dhuinn Riaghailt L'Hopital a chleachdadh:
\[
Tha Σ_{x = 0}, sin(2x)/cos(3x) – 1 = Σ_{x = 0}, frac{2cos(2x)/-3sin(3x)}.
\]
A-rithist is e seo \(\frac{0}{0}\), agus mar sin is urrainn dhuinn Riaghailt L'Hopital a chleachdadh a-rithist:
\[
Σ = \lim_{{x \to 0}} \frac{-4 \sin(2x)}{-9 \cos(3x)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{4 \sin(2x)}{9 \cos(3x)}.
\]
Bho sin(2x)₂approx 2x agus cos(3x)₂approx 1 fhad ’s a tha e a’ tighinn faisg air 0:
\[
\frac{4 \cdot 0}{9 \cdot 1} = 0.
\]
Is e an toradh deireannach 0.
Co-dhùnadh
Tro na diofar eisimpleirean gu h-àrd, chì sinn mar a thathas a’ cleachdadh diofar dhòighean-obrach gus crìochan ghnìomhan trigonometric obrachadh a-mach. Faodaidh cleachdadh dearbh-aithnean trigonometric, ionadachadh, agus riaghailt L'Hôpital a bhith glè fheumail ann a bhith a’ fuasgladh dhuilgheadasan co-cheangailte ri crìochan.
Tha tuigse mhionaideach air crìochan bunaiteach leithid Σ(τ_{x gu 0}) agus an dòigh-obrach airson eadar-dhealachadh ath-aithrisichte riatanach ann an àireamhachd. Le barrachd cleachdaidh, bidh oileanaich nas fileanta ann a bhith a’ dèiligeadh ri diofar sheòrsaichean de dhuilgheadasan crìochan gnìomh trigonometric.
