Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Co-cheanglaichean, Modalan, agus Argamaidean Àireamhan Co-fhillte agus na Feartan aca
Tha àireamhan iom-fhillte nam pàirt chudromach de mhatamataig, gu h-àraidh ann an raon anailis iom-fhillte. Tha àireamhan iom-fhillte air an dèanamh suas de phàirt fhìor agus pàirt mac-meanmnach, mar as trice air an cur an cèill san riochd \(z = a + bi \), far a bheil \(a \) agus \(b \) nan àireamhan fìor agus \(i \) an aonad mac-meanmnach a tha a’ sàsachadh \(i^2 = -1 \). Gus tuigse nas doimhne fhaighinn air àireamhan iom-fhillte, feumaidh fios a bhith againn air bun-bheachdan co-cheangailte, modulas, agus argamaid àireamhan iom-fhillte agus na feartan aca.
Co-cheangail Àireamhan Co-fhillte
Is e co-cheangal na h-àireimh iom-fhillte \( z = a + bi \) \( \overline{z} = a – bi \). Bidh co-cheangal àireamh iom-fhillte ag atharrachadh soidhne na pàirte mac-meanmnach gun soidhne na pàirte fhìor atharrachadh.
Feartan nan Conjugaidean
1. \( \overline{\overline{z}} = z \)
– ’S e co-chuingealaiche co-chuingealaiche àireamh iom-fhillte an àireamh iom-fhillte fhèin.
2. ((z + w = z + w))
– Is e co-shuim dà àireamh iom-fhillte suim nan co-shuimean de gach àireamh iom-fhillte.
3. ((z w = z w))
– ’S e co-mheasgaichte toradh dà àireamh iom-fhillte toradh nan co-mheasgaichtean de gach àireamh iom-fhillte.
4. ((Overline(z/w) = (z/w))
– ’S e co-roinn dà àireamh iom-fhillte roinneadh nan co-cheangailtean fa leth aca.
Modúl Àireamh Co-fhillte
’S e modúl àireamh iom-fhillte \(z = a + bi \) fad no meud a’ vectar a tha a’ riochdachadh \(z \) anns a’ phlèana iom-fhillte. Tha am modúl air a chomharrachadh le \( |z| \) agus air a thomhas leis an fhoirmle
[ |z| = √{a² + b²}]
Feartan a’ Mhodail
1. \( |z| \geq 0 \)
– Chan eil modúl àireamh iom-fhillte àicheil an-còmhnaidh.
2. \( |z| = 0 \iff z = 0 \)
– Tha modúl àireamh iom-fhillte co-ionann ri neoni ma tha agus dìreach ma tha an àireamh iom-fhillte co-ionann ri neoni.
3. (|z ≤ w| = |z| ≤ w|)
– ’S e modúl toradh dà àireamh iom-fhillte toradh modúl gach àireamh iom-fhillte.
4. \( \left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|} \), \( w \neq 0 \)
– ’S e modúl roinneadh dà àireamh iom-fhillte roinneadh am modalan fa leth.
5. \( |z + w| \leq |z| + | w| \)
– Neo-ionannachd triantan airson modúl àireamh iom-fhillte.
Argamaidean Àireamh Iom-fhillte
Is e argamaid àireamh iom-fhillte \(z = a + bi \) an ceàrn a nì an vectar a tha a’ riochdachadh \(z \) leis an ais fhìor dheimhinneach anns a’ phlèana iom-fhillte. Tha an argamaid air a chomharrachadh le \( \arg(z) \) agus mar as trice tha e air a chur an cèill ann an radianan.
Feartan nan Argamaidean
1. \( \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \)
– ’S e argamaid àireamh iom-fhillte air a togail gu cumhachd toradh iomadachadh na cumhachd leis an argamaid den àireamh iom-fhillte.
2. (arg(dfrac{z}{w)) = arg(z) – arg(w))
– ’S e argamaid roinneadh dà àireamh iom-fhillte an diofar eadar argamaidean an àireamhaiche agus an ainmiche.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Duilgheadas 1: Co-cheanglaichean Àireamhan Co-fhillte
Lorg co-chuingealaiche na h-àireimh iom-fhillte (z = 3 + 4i).
Deasbad:
Is e co-chuingealaiche \(z \) \( \overline{z} = 3 – 4i \).
Ceist 2: Modúl Àireamhan Co-fhillte
Obraich a-mach modúl an àireimh iom-fhillte (z = 1 – i).
Deasbad:
[ |z| = √{1^2 + (-1)^2} = √{1 + 1} = √{2} \]
Ceist 3: Argamaidean Àireamhan Co-fhillte
Lorg argamaid na h-àireimh iom-fhillte (z = -1 + ∫3 i).
Deasbad:
Gus an argamaid a lorg, feumaidh sinn an ceàrn a chruthaichear le \(z \) a lorg anns a' phlèana iom-fhillte.
Tha an àireamh iom-fhillte (-1 + −3 i) ann an ceathramh II.
\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\deas) + \pi = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \pi \]
Tha fios againn gu bheil (tan(dfrac{π}{3) = ∫sqrt{3}), agus mar sin
\[ \arg(z) = \dfrac{2\pi}{3} \]
Ceist 4: Iomadachadh Àireamhan Co-fhillte
Obraich a-mach an toradh \(z_1 = 2 + 3i \) agus \(z_2 = 1 – i \), agus obraich a-mach modúl an toraidh.
Deasbad:
\[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 – i) = 2 + 2i – 3i – 3i^2 = 2 – i + 3 = 5 – i \]
Modúl (z_1) de (z_2):
\[ |5 – i| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
Co-dhùnadh
Tha àireamhan iom-fhillte nam bun-bheachd ann am matamataig agus innleadaireachd. Le bhith a’ tuigsinn an co-cheangailte, am modulus, agus an argamaid, is urrainn dhuinn àireamhan iom-fhillte a thuigsinn agus a làimhseachadh nas fheàrr. Tha feartan a’ cho-cheangailte, a’ mhodail, agus an argamaid a’ toirt seachad innealan cumhachdach airson tuilleadh mion-sgrùdaidh agus tagraidhean nas fharsainge ann an diofar mheuran saidheans. Tro na h-eisimpleirean a tha air an taisbeanadh, thathas an dòchas gum faigh luchd-leughaidh tuigse agus maighstireachd nas fheàrr air cleachdadh àireamhan iom-fhillte ann an diofar cho-theacsan.
