Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Co-dhèanamh Cruth-atharrachaidh a’ cleachdadh Maitrísean
Tha cruth-atharrachaidhean geoimeatrach nan cuspair cudromach ann am matamataig, gu h-àraidh ann an geoimeatraidh agus ailseabra loidhneach. Faodaidh na cruth-atharrachaidhean sin a bhith a’ toirt a-steach eadar-theangachaidhean, rothlaidhean, meòrachadh, agus leudachadh. San artaigil seo, nì sinn sgrùdadh air mar as urrainnear co-dhèanamh diofar chruth-atharrachaidhean a riochdachadh agus fhuasgladh le bhith a’ cleachdadh maitrísichean. Bheir sinn seachad eisimpleirean de dhuilgheadasan agus fuasglaidhean cuideachd.
1. Ro-ràdh do Chruth-atharrachadh le bhith a’ cleachdadh Maitrísean
Faodar cruth-atharrachaidhean geoimeatrach a riochdachadh le maitrísichean. Mar eisimpleir, faodar cruth-atharrachaidhean rothlaidh, eadar-theangachaidh, meòrachaidh, agus leudachaidh a chur ann an cruth maitrís mar a leanas:
1. Eadar-theangachadh
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Cuairteachadh
\[
R(θ) = \begin{pmatrix} \cosθ & -sinθ \sinθ & \cosθ \end{pmatrix}
\]
3. Meòrachadh mun ais-X
\[
\text{Meòrachadh X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Leudachadh (meudachadh/sgèileadh)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Co-dhèanamh Chruth-atharrachaidhean le Maitrísean
’S e co-dhèanamh cruth-atharrachaidh cur an sàs dà chruth-atharrachadh no barrachd air nì ann an sreath. Gus co-dhèanamh cruth-atharrachaidh obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh mhaitris, bidh sinn dìreach ag iomadachadh nam maitris a tha a’ riochdachadh nan cruth-atharrachaidhean.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist
Le puing P(2, 3) air a thoirt seachad, lorg toradh an atharrachaidh a leanas:
1. Cuairteachadh 90° deiseal (CW)
2. Leudachadh le factar sgèile de 2
3. Eadar-theangachadh de (1, -2)
Deasbad
1. Cuairteachadh \(90°\circ\) CW
Am maitrís airson rothladh deiseal de \(90^\circ\):
\[
∫pmatrix = 0 & 1, -1 & 0,
\]
A’ cur cruth-atharrachadh rothlaidh an sàs air puing P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\ 2 + 1 \\ 3 \\ -1 \\ 2 + 0 \\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\end{pmatrix}
\]
Is e P'(3, -2) am puing P an dèidh an cruth-atharrachaidh rothlaidh.
2. Leudachadh le factar sgèile de 2
Maitrís airson leudachadh le factar sgèile 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
A’ cur cruth-atharrachadh leudachaidh an sàs aig puing P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \\ 3 + 0 \\ -2 \\ 0 \\ 3 + 2 \\ -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\end{pmatrix}
\]
Is e am puing P' an dèidh an cruth-atharrachaidh leudachaidh P”(6, -4).
3. Eadar-theangachadh de (1, -2)
Seo na gnìomhan eadar-theangachaidh a chaidh a thoirt seachad:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
A’ cur cruth-atharrachadh eadar-theangachaidh an sàs aig puing P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \\end{pmatrix} = \\end{pmatrix} 7 \\ -6 \\end{pmatrix}
\]
Mar sin, is e P(7, -6) an t-àite crìochnachaidh às dèidh a h-uile cruth-atharrachadh a chur an sàs.
3. A’ tomhas co-dhèanamh cruth-atharrachaidh
Ceistean a bharrachd
Air a thoirt seachad puing Q(1, 2) agus an cruth-atharrachadh a leanas:
1. Meòrachadh mun ais-X.
2. Cuairteachadh \(180°\circ\) deiseal (CW).
Deasbad
1. Meòrachadh mun ais-X
Maitrís meòrachaidh timcheall air an axis-X:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
A’ cur cruth-atharrachadh meòrachaidh an sàs aig puing Q:
\[
`` ...
\]
Is e Q'(1, -2) am puing Q an dèidh an cruth-atharrachaidh meòrachaidh.
2. Cuairteachadh \(180°\circ\) CW
Maitrís airson rothlachd \(180^\circ\) deiseal:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
A’ cur cruth-atharrachadh rothlaidh 180°C an sàs air puing Q'(1, -2):
\[
``` ( ( Pmatrix 1 -2) = Pmatrix -1 1 + 0 -2 0 1 + -1 -2 Pmatrix = -1 2 Pmatrix
\]
Mar sin, is e Q(-1, 2) an t-àite crìochnachaidh às dèidh a h-uile cruth-atharrachadh a chur an sàs.
Penutup
Tha an dòigh-obrach cruth-atharrachaidh le bhith a’ cleachdadh maitrísichean glè fheumail airson cruth-atharrachaidhean geoimeatrach a dhèanamh nas sìmplidhe agus obrachadh a-mach gu siostamach. Le bhith a’ leantainn nan ceumannan gu h-àrd, is urrainn dhuinn gu furasta diofar sheòrsaichean de chruth-atharrachaidhean a thuigsinn agus a chur an sàs ann an aon phuing no nì geoimeatrach eile. Le bhith ag ionnsachadh mar a chleachdas sinn maitrísichean ann an cruth-atharrachaidhean, tha e cuideachd nas fhasa an cur an sàs ann an diofar raointean leithid fiosaig, grafaigean coimpiutair, agus barrachd.
