Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Cho-dhèanamh Gnìomh
'S e bun-bheachd ann am matamataig a th' ann an co-dhèanamh ghnìomhan far a bheil dà ghnìomh air an cur còmhla ann an aon. Ma tha \(f \) agus \(g \) nan dà ghnìomh, tha co-dhèanamh \(f \) agus \(g \) na ghnìomh ùr air a mhìneachadh mar \((f \circ g)(x) \) a tha a' ciallachadh \(f(g(x)) \). San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus mar a dh'fhuasglas sinn iad a thaobh co-dhèanamh ghnìomhan.
1. Tuigse Bhunasach air Co-dhèanamh Gnìomhach
Mus tèid sinn a-steach do na ceistean eisimpleir, leig dhuinn tuigsinn goirid dè a th' ann an co-dhèanamh gnìomh.
Abair gu bheil dà ghnìomh ann, \(f \) agus \(g \):
– Gnìomh \(f \) : \(x \mapsto f(x) \)
– Gnìomh \(g \) : \(x \mapsto g(x) \)
Tha co-dhèanamh \(f \) agus \(g \), sgrìobhte mar \(f \circ g \), na ghnìomh a choinnicheas ri:
[(f timcheall air g)(x) = f(g(x))]
An seo, 's e g(x) an cuir-a-steach don ghnìomh f.
2. Eisimpleir Ceist 1
Ceist:
Ma tha an gnìomh \(f(x) = 2x + 3 \) agus an gnìomh \(g(x) = x – 5 \) air a thoirt seachad, obraich a-mach \((f \circ g)(x) \) agus \((g \circ f)(x) \).
Deasbad:
Obraich sinn a-mach a’ chiad cho-dhèanamh \( (f \circ g)(x) \):
[(f timcheall air g)(x) = f(g(x))]
A’ chiad cheum, cuiridh sinn \(g(x) \) a-steach do \(f(x) \):
[g(x) = x – 5]
[f(g(x)) = f(x – 5)]
An dàrna ceum, cuiridh sinn \(x – 5 \) a-steach don ghnìomh \(f \):
[f(x – 5) = 2(x – 5) + 3]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Mar sin, (f₁₀g)(x) = 2x – 7).
A-nis obraichidh sinn a-mach an dàrna co-dhèanamh \( (g \circ f)(x) \):
[(g timcheall air f)(x) = g(f(x))]
A’ chiad cheum, cuiridh sinn f(x) a-steach do g(x):
[f(x) = 2x + 3]
[g(f(x)) = g(2x + 3)]
An dàrna ceum, cuiridh sinn \( 2x + 3 \) a-steach don ghnìomh \( g \):
[g(2x + 3) = (2x + 3) – 5]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Mar sin, (g = f)(x) = 2x – 2).
3. Eisimpleir Ceist 2: Co-dhèanamh Gnìomhan le Gnìomhan Ceàrnagach
Ceist:
Ma tha an gnìomh \(f(x) = x^2 + 1 \) agus an gnìomh \(g(x) = 3x – 4 \) air a thoirt seachad. Obraich a-mach \((f \circ g)(x) \) agus \((g \circ f)(x) \).
Deasbad:
Obraich sinn a-mach a’ chiad cho-dhèanamh \( (f \circ g)(x) \):
[(f timcheall air g)(x) = f(g(x))]
A’ chiad cheum, cuiridh sinn \(g(x) \) a-steach do \(f(x) \):
[g(x) = 3x – 4]
[f(g(x)) = f(3x – 4)]
An dàrna ceum, cuiridh sinn \( 3x – 4 \) a-steach don ghnìomh \( f \):
[f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
[= 9x^2 – 12x² + 16 + 1]
[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Mar sin, \( (f \ circ g)(x) = 9x^2 - 24x + 17 \).
A-nis obraichidh sinn a-mach an dàrna co-dhèanamh \( (g \circ f)(x) \):
[(g timcheall air f)(x) = g(f(x))]
A’ chiad cheum, cuiridh sinn f(x) a-steach do g(x):
[f(x) = x^2 + 1]
[g(f(x)) = g(x^2 + 1)]
An dàrna ceum, cuiridh sinn \(x^2 + 1 \) a-steach don ghnìomh \(g \):
[g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Mar sin, (g = f)(x) = 3x² – 1).
4. Ceist Eisimpleir 3: Co-dhèanamh Gnìomhan Triantan-eòlach
Ceist:
Ma tha an gnìomh f(x) = sin x agus an gnìomh g(x) = x^2 ann, obraich a-mach (f(g)(x)) agus (g(f)(x)).
Deasbad:
Obraich sinn a-mach a’ chiad cho-dhèanamh \( (f \circ g)(x) \):
[(f timcheall air g)(x) = f(g(x))]
A’ chiad cheum, cuiridh sinn \(g(x) \) a-steach do \(f(x) \):
[g(x) = x^2]
[f(g(x)) = f(x^2)]
An dàrna ceum, cuiridh sinn \(x^2 \) a-steach don ghnìomh \(f \):
[f(x²) = sin (x²)]
Mar sin, (f⁻¹ g)(x) = sin (x²)).
A-nis obraichidh sinn a-mach an dàrna co-dhèanamh \( (g \circ f)(x) \):
[(g timcheall air f)(x) = g(f(x))]
A’ chiad cheum, cuiridh sinn f(x) a-steach do g(x):
[f(x) = sin x]
[g(f(x)) = g(sin x)]
An dàrna ceum, cuiridh sinn \( \sin x \) a-steach don ghnìomh \(g \):
[g(sin x) = (sin x)^2]
\[ = \sin^2 x \]
Mar sin, ((g^cir f)(x) = sin^2 x).
Co-dhùnadh
’S e dòigh air dà ghnìomh a chur còmhla ann an aon ghnìomh a th’ ann an co-dhèanamh ghnìomhan. Tro na h-eisimpleirean gu h-àrd, dh’ionnsaich sinn gu bheil am pròiseas co-dhèanamh ghnìomhan a’ toirt a-steach aon ghnìomh a chur an àite fear eile. Tha toradh deireannach co-dhèanamh ghnìomhan an urra gu mòr air an òrdugh anns an tèid na gnìomhan a chur an sàs an toiseach.
Tha e cudromach tuigsinn nach eil \((f \circ g)(x) \) an-còmhnaidh mar an ceudna ri \((g \circ f)(x) \), agus faodaidh an diofar seo a bhith glè chudromach ann an diofar chleachdaidhean matamataig agus saidheans. Mar sin, tha e glè chudromach do dhuine sam bith a tha ag ionnsachadh matamataig aig ìre eadar-mheadhanach no adhartach tuigse fhaighinn air na bunaitean agus mar a nì thu obrachadh a-mach co-dhèanamh ghnìomhan.
Tha mi an dòchas gu bheil an deasbad agus na ceistean eisimpleir gu h-àrd feumail agus gun cuidich iad le luchd-leughaidh tuigse fhaighinn air co-dhèanamh ghnìomhan.
