Ceistean Eisimpleir Deasbaid Co-mheasgaichte
'S e meur de mhatamataig a th' ann an co-mheasgachd a bhios a' sgrùdadh cunntadh, rèiteachadh, agus structaran a dh'fhaodadh a bhith aig seataichean de eileamaidean. Tha tagraidhean cudromach aig co-mheasgachd ann an grunn raointean, nam measg saidheans coimpiutaireachd, staitistig, bith-eòlas, agus eaconamas. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean agus na còmhraidhean aca co-cheangailte ri co-mheasgachd, a tha, tha sinn an dòchas, a bheir tuigse nas fheàrr air bun-bheachdan agus tagraidhean co-mheasgachd.
Ceist 1: Iomlaid
Ceist:
Cia mheud dòigh as urrainnear 5 leabhraichean eadar-dhealaichte a chur air sgeilp?
Deasbad:
Is e permutation rèiteachadh nithean ann an òrdugh òrdail. Nuair a tha òrdugh cudromach, bidh sinn a’ cleachdadh permutations. Ann an co-theacsa na trioblaid seo, tha còig leabhraichean eadar-dhealaichte againn ri rèiteachadh. Is e seo an àireamh de dhòighean air na còig leabhraichean seo a rèiteachadh:
[5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120]
Mar sin, tha 120 dòigh ann airson 5 leabhraichean eadar-dhealaichte a chur air sgeilp.
Ceist 2: Measgachadh
Ceist:
À 10 daoine, cia mheud dòigh a tha ann air sgioba de 4 daoine a chruthachadh?
Deasbad:
Is e cothlamadh taghadh nithean far nach eil an òrdugh cudromach. Is e am foirmle airson cothlamadh:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Ann an co-theacsa na trioblaid seo, \(n = 10 \) agus \(k = 4 \). Mar sin,
[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \times (10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \]
Tha fios againn gu bheil (10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6!), agus an uairsin
[\binom{10}{4} = \frac{10 x 9 x 8 x 7 x 6!}{4! x 6!} = \frac{10 x 9 x 8 x 7}{4 x 3 x 2 x 1} = 210 \]
Mar sin, tha 210 dòigh ann air sgioba de 4 a-mach à 10 daoine a chruthachadh.
Ceist 3: Ath-aithris le Ath-aithris
Ceist:
Cia mheud dòigh a tha ann air am facal “ÌRE” a chur ann an òrdugh?
Deasbad:
Tha am facal “ÌRE” air a dhèanamh suas de 5 litrichean, agus tha cuid dhiubh air an ath-aithris (L dà uair agus E dà uair). Is e seo foirmle an iom-fhillteachaidh le ath-aithris:
[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
Ann an co-theacsa na trioblaid seo, \(n = 5 \), \(n_1 = 2 \) airson na litreach L, agus \(n_2 = 2 \) airson na litreach E. Mar sin,
[ \frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{4} = 30 \]
Mar sin, tha 30 dòigh ann airson am facal “ÌRE” a chur ann an òrdugh.
Ceist 4: Measgachadh le Ath-aithris
Ceist:
Cia mheud dòigh a tha ann airson 3 siùcairean a thaghadh bho 5 diofar sheòrsaichean siùcairean le ath-aithris ceadaichte?
Deasbad:
Measgachadh le ath-aithris a’ cleachdadh na foirmle a leanas:
[ \binom{n+r-1}{r} \]
Ann an co-theacsa na trioblaid seo, \(n = 5 \) (seòrsaichean siùcairean) agus \(r = 3 \) (àireamh nan siùcairean a chaidh a thaghadh). Mar sin,
[ \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times 4!} \]
Le fios againn gu bheil (7! = 7 × 6 × 5 × 4!), an uairsin
[\binom{7}{3} = \frac{7 x 6 x 5 x 4!}{3! x 4!} = \frac{7 x 6 x 5}{3 x 2 x 1} = 35 \]
Mar sin, tha 35 dòigh ann airson 3 siùcairean a thaghadh bho 5 diofar sheòrsaichean siùcairean le ath-aithris ceadaichte.
Ceist 5: Prionnsabal an t-Suimeachaidh
Ceist:
Cia mheud dòigh a tha ann air aon mheas a thaghadh à basgaid anns a bheil 3 ubhlan, 2 oraindsearan, agus 5 bananathan?
Deasbad:
Tha prionnsabal an t-suimeachaidh ag ràdh ma tha grunn dhòighean ann airson gnìomh a dhèanamh, gur e suim nan dòighean sin uile an àireamh iomlan de dhòighean. Ann an co-theacsa na trioblaid seo,
– Tha 3 dòighean ann airson 1 ubhal a thaghadh.
– Tha 2 dhòigh ann air 1 orainds a thaghadh.
– Tha 5 dòighean ann airson 1 banana a thaghadh.
Dòighean gu h-iomlan:
\[ 3 + 2 + 5 = 10 \]
Mar sin, tha 10 dòighean ann airson aon thoradh a thaghadh bhon bhasgaid.
Ceist 6: Prionnsabal an Iomadachaidh
Ceist:
Cia mheud dòigh a tha ann airson aon lèine a thaghadh à 4 roghainnean agus aon phàir bhrògan à 3 roghainnean?
Deasbad:
Tha prionnsapal an iomadachaidh ag ràdh ma tha iomadh dòigh ann airson a’ chiad ghnìomh a dhèanamh agus iomadh dòigh ann airson an dàrna gnìomh a dhèanamh, gur e toradh nan dòighean air gach gnìomh a dhèanamh an àireamh iomlan de dhòighean air an dà ghnìomh a dhèanamh.
Ann an co-theacsa na ceiste seo,
– Tha 4 dòighean ann airson 1 lèine a thaghadh.
– Tha 3 dòighean ann airson 1 paidhir bhriogais a thaghadh.
Dòighean gu h-iomlan:
[4 x 3 = 12]
Mar sin, tha 12 dòigh ann airson aon lèine agus aon phàir bhrògan a thaghadh.
Co-dhùnadh
Tha measgachadh, mar mheur de mhatamataig, a’ tabhann raon farsaing de dhòighean agus bhun-bheachdan airson diofar nithean obrachadh a-mach agus an rèiteachadh. Bho atharrachaidhean agus measgachaidhean gu prionnsapalan cur-ris agus iomadachaidh, thathas a’ cleachdadh nan bun-bheachdan seo gu tric ann an grunn thagraidhean practaigeach. Le bhith a’ tuigsinn nan eisimpleirean agus nan deasbadan gu h-àrd, thathar an dòchas gum bi e comasach dha luchd-leughaidh bun-bheachdan measgachadh a chur an sàs ann an suidheachaidhean nas iom-fhillte agus na sgilean fuasgladh-cheistean aca a leasachadh ann am matamataig agus cuspairean eile.
