Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Cleachdadh Co-mheasan Triantan-eòlach tan θ
'S e meur de mhatamataig a th' ann an triantanachd a bhios a' dèiligeadh ri ceàrnan agus gnìomhan ceàrn ann an triantan. Is e aon bhun-bheachd chudromach ann an triantanachd co-mheasan triantanachd cheàrnan, leithid sine (sin), cosine (cos), agus tangens (tan). San artaigil seo, cuiridh sinn fòcas air tangens aon cheàirn θ, a tha air a chomharrachadh le tan θ.
Mìneachadh air Tan θ
’S e tangant ceàrn θ ann an triantan ceart-cheàrnach an co-mheas eadar fad taobh mu choinneamh ceàrn θ agus fad taobh ri thaobh ceàrn θ. Gu matamataigeach, tha tangant θ air a chur an cèill mar:
\[ \tan \theta = \frac{\text{an taobh eile de cheàrn θ}}{\text{an taobh ri thaobh de cheàrn θ}} \]
Gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air a’ bhun-bheachd seo, thèid sinn tro chuid de dhuilgheadasan eisimpleireach agus bruidhnidh sinn air cleachdaidhean tan θ.
Eisimpleir Ceist 1: Ag obrachadh a-mach Tan θ
Ma tha triantan ceart-cheàrnach againn le ceàrn θ aig puing A, far a bheil fad 3 cm aig taobh mu choinneamh ceàrn θ agus fad 4 cm aig taobh ri thaobh ceàrn θ. Obraich a-mach tan θ.
Fuasgladh:
Bho na duilgheadasan gu h-àrd, tha fios againn:
– An taobh eile de cheàrn θ (mu choinneamh) = 3 cm
– Taobh ri taobh ceàrn θ = 4 cm
A’ cleachdadh mìneachadh tan θ, bidh sinn a’ tomhas:
[tan theta = \frac{\text{mu choinneamh}}{\text{ri thaobh}}]
[tan_theta = \frac{3}{4}]
Mar sin, tha tan θ = 0.75.
Gu geoimeatrach, tha seo a’ ciallachadh, airson ceàrn θ anns an triantan, gu bheil an co-mheas eadar fad an taobh mu choinneamh agus fad an taobh ri thaobh 0.75.
Eisimpleir 2: A’ cleachdadh Tan θ gus Fad Taobh obrachadh a-mach
Tha àradh na cromadh an aghaidh balla aig ceàrn àirde θ de 30 ceum. Tha an t-astar bho bhonn na fàradh chun a’ bhalla 5 meatairean. Dè cho fada ’s a tha an fhàradh na cromadh an aghaidh a’ bhalla?
Fuasgladh:
A’ chiad cheum, cuimhnich air mìneachadh tan θ:
[tan theta = \frac{\text{mu choinneamh}}{\text{ri thaobh}}]
Ann an co-theacsa na trioblaid seo:
– θ = 30 ceum
– faisg air làimh (astar bho bhonn an fhàraidh chun a’ bhalla) = 5 meatairean
– mu choinneamh (àirde an fhàraidh chun a’ bhalla) = ???
Bidh sinn an toiseach a’ tomhas\text{opposite)):
[ \tan 30^\circ = \frac{\text{mu choinneamh}}{5} \]
Tha fios againn bhon chlàr trigonometric gu bheil:
[\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Mar sin:
[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{mu choinneamh}}{5} \]
Iomadaich an dà thaobh le 5:
[ \text{mu choinneamh} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Mu choinneamh (àirde an fhàraidh chun a’ bhalla) tha:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89 \text{ meatairean} \]
Mar sin, tha fad an fhàradh 5 meatairean.
Eisimpleir 3: A’ tomhas ceàrnan le bhith a’ cleachdadh Tan θ
Bidh tùr a’ tilgeil sgàil 12 meatair a dh’fhaid. Ma tha an tùr 8 meatairean a dh’àirde, dè an ceàrn àirde θ aig a’ ghrian?
Fuasgladh:
Anns a’ cheist seo, tha sinn air ar toirt seachad:
– Àirde an tùir (mu choinneamh) = 8 meatairean
– Fad an sgàil (ri thaobh) = 12 meatairean
Bidh sinn a’ cleachdadh mìneachadh tan θ gus θ a lorg:
[\tan\theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
A-nis lorg sinn θ leis a’ cho-aontar:
[\theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
Ma choimheadas sinn tro chlàr no àireamhair gus luach an tangent inbhir a dhearbhadh, gheibh sinn:
[Theta timcheall air 33.69 circumference]
Mar sin, tha ceàrn àirde na grèine mu 33.69 ceum.
Eisimpleir 4: A’ cur Tan θ an sàs ann an fheumalachdan an t-saoghail fhìor
Tha meòrachadh solais air a chuir a-steach air pòla 4 meatairean os cionn càr. Ma tha thu airson siren a chuir a-steach a chithear aig ceàrn 45-ceum bhon talamh, obraich a-mach an t-astar as fhaide aig a bheil an siren fhathast ri fhaicinn.
Fuasgladh:
Bhon cheist, tha fios:
– Àirde a’ phòla (mu choinneamh) = 4 meatairean
– Ceàrn θ = 45 ceum
A rèir mìneachadh tan θ:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{mu choinneamh}}{\text{ri thaobh}} \]
Tha fios againn gu bheil \(\tan 45^\circ = 1\), agus mar sin:
\[ 1 = \frac{4}{\text{ri thaobh}} \]
Mar sin:
\[ \text{ri thaobh} = 4 \text{ meatairean} \]
Mar sin, is e 4 meatairean an t-astar as fhaide aig a bheil an sirean ri fhaicinn.
Co-dhùnadh
Bho na h-eisimpleirean gu h-àrd, chì sinn gur e bun-bheachd glè fheumail a th’ ann an tangant ceàrn θ (\(tan \theta\)) agus gu bheil raon farsaing de thagraidhean practaigeach aige, bho bhith a’ fuasgladh dhuilgheadasan sìmplidh ann am matamataig gu bhith ga chur an sàs ann am feumalachdan làitheil, leithid ann an togail agus seòladh. Faodaidh deagh thuigse air a’ bhun-bheachd seo cuideachadh le bhith a’ fuasgladh diofar dhuilgheadasan a tha a’ toirt a-steach coimeas a dhèanamh eadar faid nan taobhan ann an triantan.
Gu h-iomlan, chan e a-mhàin gu bheil tan θ, mar phàirt de thrigonometry, na chuspair cudromach ann am foghlam foirmeil ach cuideachd na inneal glè fheumail ann an diofar thaobhan de bheatha fhìor. Tha sinn an dòchas gun toir an t-artaigil seo sealladh soilleir agus domhainn air mar a chleachdas tu tan θ gus fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan co-cheangailte.
