Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Suidheachadh Loidhne a thaobh Cearcall
Ann an geoimeatraidh, 's e bun-bheachd a th' ann an suidheachadh loidhne an coimeas ri cearcall a thathas a' bruidhinn air gu tric aig diofar ìrean foghlaim. Faodaidh loidhne grunn shuidheachaidhean a ghabhail an coimeas ri cearcall, is e sin mar shlaodadh, tangent, no taobh a-muigh. Chan e a-mhàin gu bheil tuigse air a' bhun-bheachd seo deatamach airson fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan matamataigeach ach cuideachd bidh e a' neartachadh ar tuigse air geoimeatraidh fhèin. Nì an t-artaigil seo sgrùdadh mionaideach air diofar eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh e air suidheachadh loidhne an coimeas ri cearcall.
1. Suidheachadh na Loidhne a thaobh a’ Chearcaill
Gus tòiseachadh, leig dhuinn sùil a thoirt air bun-bheachdan nan trì seòrsaichean de shuidheachaidhean loidhne an coimeas ris a’ chearcall:
1. Gearr-loidhne: Loidhne a tha a’ trasnadh cearcall aig dà phuing.
2. Tangent: Loidhne a bhios a’ beantainn ri cearcall aig aon phuing a-mhàin.
3. Loidhne a-muigh: Loidhne nach eil a’ beantainn ris a’ chearcall idir.
2. Teòiridh Bhunasach agus Foirmlean Cudromach
Beagan fhoirmlean agus bun-bheachdan cudromach ri chuimhneachadh:
– Faodaidh an t-astar bhon mheadhan-phuing a’ chearcaill chun na loidhne \(d\) suidheachadh na loidhne a thaobh a’ chearcaill a dhearbhadh:
– Ma tha \(d > r\) (radius a’ chearcaill), is e loidhne a-muigh a th’ anns an loidhne.
– Ma tha \(d = r\), is e loidhne-suathaidh a th’ anns an loidhne.
– Ma tha \(d < r\), is e secant a th’ anns an loidhne. - Is e \(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) co-aontar coitcheann cearcaill le meadhan aig puing \((h,k)\) agus radius \(r\). - Is e \(Ax + By + C = 0\) co-aontar loidhne ann an cruth coitcheann.
3. Ceistean Eisimpleir agus Deasbad Ceist Eisimpleir 1: Ceist Geàrr-chunntas: Air a thoirt seachad cearcall leis a’ cho-aontar \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\) agus loidhne \(4x + 3y - 7 = 0\). Obraich a-mach suidheachadh na loidhne a thaobh a’ chearcaill. Deasbad: 1. Comharraich meadhan agus radius a’ chearcaill: - Meadhan a’ chearcaill: \((2,-3)\) - Radius a’ chearcaill: \(r = \sqrt{25} = 5\) 2. Lorg an t-astar bho mheadhan a’ chearcaill chun na loidhne: - Cleachd am foirmle airson an astar bho phuing gu loidhne: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] - Sa chùis seo, \(A = 4\), \(B = 3\), agus \(C = -7\). Is e \(2, -3)\) am meadhan-phuing. - Cuir an àite: \[ d = \frac{|4(2) + 3(-3) - 7|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 - 9 - 7|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-8|}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \] 3. Dèan coimeas eadar an astar agus radius a’ chearcaill: - \(d = 1.6\) agus \(r = 5\) - Leis gu bheil \(d < r\), tha an loidhne na secant den chearcall.
Eisimpleir Ceist 2: Ceist Loidhne-suathaidh: Ma tha co-aontar a’ chearcaill (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 16) agus co-aontar na loidhne (x + y - 3 = 0) ann. A bheil an loidhne a’ beantainn ris a’ chearcall? Ma tha, dearbhaich puing an suathaidh. Deasbad: 1. Comharraich meadhan agus radius a’ chearcaill: - Meadhan a’ chearcaill: ((-2, 1)) - Radius a’ chearcaill: (r = 16 = 4) 2. Lorg an t-astar bho mheadhan a’ chearcaill chun na loidhne: - Cleachd am foirmle airson an astar bho phuing gu loidhne: [d = 1/Ax₁ + By₁ + C|}{A₂ + B₂] - Sa chùis seo, (A = 1), (B = 1), agus (C = -3). Is e am meadhan ((-2, 1)). - Ionadachadh: [ d = \frac{|1(-2) + 1(1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 1 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] 3. Dèan coimeas eadar an t-astar agus radius a’ chearcaill: - (d = 2\sqrt{2}) agus (r = 4) - Leis gu bheil (d \neq r), chan eil an loidhne seo a’ beantainn ris a’ chearcall. Ceartachaidhean agus Deasbadan: - Chan eil an t-astar a fhuaireadh san riochd \(r = 4\) agus mar sin feumar ath-sgrùdadh a dhèanamh air ma tha mearachd clò-sgrìobhaidh san duilgheadas no ath-àireamhachadh mura h-eil ceartachadh ann, tha an toradh mar an ceudna: chan e tangent a tha san loidhne seo ach secant. 4. Ceistean Cleachdaidh
Seo beagan cheistean cleachdaidh as urrainn dhut fheuchainn thu fhèin: 1. Eacarsaich 1: Loidhnichean a’ Trasnadh Ma tha cearcall ann leis a’ cho-aontar \(x^2 + y^2 = 25\) agus loidhne leis a’ cho-aontar \(3x + 4y - 20 = 0\). Obraich a-mach suidheachadh na loidhne a thaobh a’ chearcaill. 2. Eacarsaich 2: Loidhnichean-suathaidh Tha co-aontar \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16\) aig cearcall. A bheil an loidhne \(2x - y + 3 = 0\) a’ beantainn ris a’ chearcall? Obraich a-mach puing an t-suathaidh ma tha. 3. Eacarsaich 3: Geàrr-chunntas Cearcaill leis a’ cho-aontar \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9\). Obraich a-mach suidheachadh na loidhne \(x + 2y - 14 = 0\) a thaobh a’ chearcaill. Ma fhreagras tu na ceistean seo le bhith a’ leantainn nan ceumannan a chaidh a dheasbad, cuidichidh sin thu gus tuigse nas fheàrr fhaighinn air bun-bheachd suidheachadh loidhne a thaobh cearcaill. Co-dhùnadh: Tha sgrùdadh a dhèanamh air dàimh loidhnichean ri cearcall na phàirt chudromach de gheoimeatraidh a ghabhas cleachdadh ann an grunn cho-theacsan acadaimigeach agus practaigeach. Le bhith a’ tuigsinn nan riaghailtean bunaiteach agus a’ cur nam foirmlean ceart an sàs, is urrainn dhuinn gu furasta faighinn a-mach a bheil loidhne a’ trasnadh cearcall, a’ beantainn ris, no a’ laighe taobh a-muigh cearcall. Tha sinn an dòchas gun cuidich na mìneachaidhean san artaigil seo thu gus do sgilean geoimeatraidh a gheurachadh agus do dhèanamh nas fheàrr deiseil airson duilgheadasan nas iom-fhillte. Ionnsachadh sona dhut!
