Eisimpleir de Cheistean Deasbaid Suim Riemann
Pendahuuan
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an àireamhachd a th’ ann an suim Riemann a thathar a’ cleachdadh gus integral cinnteach gnìomh a mhìneachadh. Bidh an dòigh seo a’ cleachdadh roinneadh eadar-ama agus suim raointean ceart-cheàrnach gus an integral a thomhas gu tuairmseach. Bruidhnidh an t-artaigil seo gu mionaideach air bun-bheachd suim Riemann, a’ gabhail a-steach eisimpleirean agus deasbadan gus tuigse a dhèanamh nas fhasa.
Bun-bheachd Suim Riemannian
Mus bruidhinn sinn air eisimpleirean, tha e cudromach tuigse fhaighinn air bun-bheachd suimean Riemannian. Faodar suimean Riemannian a roinn ann an trì prìomh sheòrsaichean:
1. Suim Riemann clì
2. Suim Riemann ceart
3. Suim Riemann meadhan-phuing
Bidh an dòigh seo a’ briseadh eadar-ama na gnìomh a tha ri amalachadh ann am fo-eadar-ama nas lugha den aon fhaid. Tha gach aon de na fo-eadar-ama sin an uair sin air a chleachdadh gus ceart-cheàrnach a chruthachadh agus tha an àirde air a dhearbhadh le luach na gnìomh aig puing sònraichte taobh a-staigh an fho-eadar-ama (clì, deas, no meadhan).
Foirmle Choitcheann airson Suim Riemann
Ma tha sinn airson an gnìomh f(x) a thoirt còmhla bho a gu b, roinnidh sinn an eadar-ama [a, b] ann an fo-eadar-ama co-ionnan (n) de dh'fhaid Δx = (frac{ba}{n}). Faodar suimean Riemann airson nan trì seòrsaichean a chaidh ainmeachadh gu h-àrd a sgrìobhadh mar a leanas:
1. Riemann clì:
[L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Δx]
2. Riemann ceart:
[R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) Δx]
3. Riemann Meadhanach:
[M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \Deltax \]
Càite:
– ’S e \(Δx \) leud gach fo-eadar-ama.
– ’S e \(x_i \) puing tòiseachaidh an i-mh fo-eadar-ama airson suim Riemann clì.
– ’S e \(x_i \) ceann-phuing an i-mh fo-eadar-ama airson suim Riemann cheart.
– Is e \( \frac{x_i + x_{i+1}}{2} \) meadhan-phuing an i-mh fo-eadar-ama airson suim mheadhanach Riemann.
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Bruidhnidh sinn air eisimpleirean de dhuilgheadasan airson gach seòrsa de Shuim Riemann gus ar tuigse a dhoimhneachadh.
Eisimpleir 1: Suim Riemann Clì
Obraich a-mach suim Riemann clì airson \(f(x) = x^2 \) air an eadar-ama \([0, 2] \) le \(n = 4 \).
Deasbad:
1. Leud Fo-eadar-ama (Δx):
[Δx = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Puing Roinneadh Eadar-ama (clì):
[x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5]
3. Luach Gnìomh aig a’ Phuing Roinnidh:
[f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0]
[f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25]
[f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1]
[f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25]
4. Suim Riemann Clì (Ln):
[L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Δx = (0) ⋅0.5 + (0.25) ⋅0.5 + (1) ⋅0.5 + (2.25) ⋅0.5]
\[ L_n = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 \]
\[L_n = 1.75 \]
Eisimpleir 2: Suim Riemann Deas
Obraich a-mach an t-suim Riemann cheart airson \(f(x) = x^2 \) air an eadar-ama \([0, 2] \) le \(n = 4 \).
Deasbad:
1. Leud Fo-eadar-ama (Δx):
[Δx = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Puing Roinneadh Eadar-ama (deas):
[x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, x_4 = 2.0]
3. Luach Gnìomh aig a’ Phuing Roinnidh:
[f(x_1) = f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25]
[f(x_2) = f(1.0) = (1.0)^2 = 1]
[f(x_3) = f(1.5) = (1.5)^2 = 2.25]
[f(x_4) = f(2.0) = (2.0)^2 = 4]
4. Suim Riemann Deas (Rn):
[R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) Δx = (0.25) ⋅0.5 + (1) ⋅0.5 + (2.25) ⋅0.5 + (4) ⋅0.5]
[R_n = 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2]
\[R_n = 3.75 \]
Eisimpleir 3: Suim Riemann Meadhanach
Obraich a-mach suim mheadhanach Riemann airson \(f(x) = x^2 \) air an eadar-ama \([0, 2] \) le \(n = 4 \).
Deasbad:
1. Leud Fo-eadar-ama (Δx):
[Δx = \frac{ba}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
2. Meadhan-phuing an Fho-eadar-ama:
[x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1.0, x_3 = 1.5, agus x_{n-1}=2.0]
Meadhan-phuing an fho-eadar-ama:
[tm_0 = (frac{0 + 0.5}{2}) = 0.25]
[tm_1 = (frac{0.5 + 1.0}{2}) = 0.75]
[tm_2 = (frac{1.0 + 1.5}{2}) = 1.25]
[tm_3 = (frac{1.5 + 2.0}{2}) = 1.75]
3. Luach Gnìomh aig Meadhan-phuing:
[f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625]
[f(0.75) = (0.75)^2 = 0.5625]
[f(1.25) = (1.25)^2 = 1.5625]
[f(1.75) = (1.75)^2 = 3.0625]
4. Suim Riemann Meadhanach (Mn):
[M_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(tm_i) Δx = (0.0625) ≥ 0.5 + (0.5625) ≥ 0.5 + (1.5625) ≥ 0.5 + (3.0625) ≥ 0.5]
\[M_n = 0.03125 + 0.28125 + 0.78125 + 1.53125 \]
\[M_n = 2.625 \]
Co-dhùnadh
Tha an t-artaigil seo air beachdachadh air mar a nì thu obrachadh a-mach suimean Riemann clì, deas, agus meadhanach, còmhla ri eisimpleirean mionaideach. Tha dòigh suim Riemann a’ toirt seachad dòigh èifeachdach airson tuairmse a dhèanamh air integral gnìomh le bhith a’ roinn an eadar-ama aige ann am fo-eadar-ama beaga agus a’ tomhas farsaingeachd iomlan gach fo-eadar-ama. Tha tuigse mhath air suim Riemann riatanach dhaibhsan a tha ag ionnsachadh àireamhachd no ag obair le gnìomhan iom-fhillte ann an diofar raointean saidheansail.
