Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Earrannan Cònach Hipearbolach
Pendahuuan
Ann am matamataig, 's e lùb a th' ann an earrann cònaigeach, ris an canar gu tric earrann cònaigeach, a gheibhear bho eadar-ghearradh còn agus plèana. Tha ceithir prìomh sheòrsaichean de earrannan cònaigeach ann: cearcallan, eileipsean, parabolan, agus hipearbolan. San artaigil seo, cuiridh sinn fòcas air an hipearbola, seòrsa de earrann cònaigeach aig a bheil iomadh cleachdadh ann an raointean leithid reul-eòlas, fiosaig, agus innleadaireachd. Bidh an artaigil seo a’ taisbeanadh eisimpleirean de dhuilgheadasan agus an deasbad air a’ chuspair seo, leis an amas a bhith a’ cuideachadh luchd-leughaidh gus tuigse fhaighinn air a’ bhun-bheachd agus mar a dh’fhuasglas iad duilgheadasan co-cheangailte ri hipearbolan.
Mìneachadh agus Feartan Hyperbole
Mus tèid sinn a-steach do na ceistean eisimpleir, bruidhnidh sinn an toiseach air cuid de bhun-bheachdan mu hipearbola.
Is e hyperbola ionad phuingean air plèana gus am bi an diofar ann an astar gach puing bho dhà phuing stèidhichte (ris an canar fòcasan) seasmhach.
Is e co-aontar coitcheann hipearbola ann an cruth àbhaisteach:
[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
no
[\frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
Càite:
– Is e \(a\) an t-astar bhon mheadhan den hipearbola chun a mhullach (vertex).
– Is e \(b\) an t-astar a tha co-cheangailte ris an astar bhon mheadhan chun a’ phuing as fhaisge air asymptote an hipearbola.
Airson hipearbola a tha a’ dol tarsainn gu còmhnard, is e seo an cruth coitcheann a thathar a’ cleachdadh:
[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Aig an aon àm, airson hipearbolan a tha a’ dol tarsainn gu dìreach:
[\frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
Ceistean Eisimpleir agus Deasbad
Ceist 1:
Ma tha co-aontar hipearbola (\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1) air a thoirt seachad. Obraich a-mach:
1. Meadhan hipearbola.
2. Fad a’ phrìomh ais agus an dàrna ais.
3. Puing fòcais.
4. Co-aontar asimptote.
5. Tarraing an hipearbola.
Deasbad:
1. Meadhan na Hipearbola:
Leis gu bheil cruth na co-aontar gu h-àrd àbhaisteach agus nach eil teirmean ann (x – h) no (y – k), tha meadhan na h-hipearbola seo aig a’ phuing (0,0).
2. Fad a’ Phrìomh Ais agus an Àrd-Ais:
Bhon cho-aontar \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \), tha fios againn gu bheil:
\[
a^2 = 16 \Rightarrow a = 4
\]
\[
b^2 = 9 \Rightarrow b = 3
\]
Is e fad an ais mhòir 2a = 2 × 4 = 8.
Is e fad an dàrna ais 2b = 2 × 3 = 6.
3. Puing Fòcais:
Gus am prìomh phuing a lorg, bidh sinn a’ cleachdadh an dàimh:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
\[
c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = \sqrt{25} = 5
\]
Leis gu bheil an hipearbola seo còmhnard, tha na fòcasan aig na puingean _((\pm c, 0)_), is iad sin _(5, 0)_) agus _(-5, 0)_).
4. Co-aontar Asimptote:
Is e loidhne dhìreach a th’ ann an asymptote a tha a’ tighinn faisg air hipearbola. Airson a’ cho-aontar àbhaisteach seo, faodar an asymptote obrachadh a-mach le:
\[
y = pm b/a x Rightarrow y = pm frac{3}{4} x
\]
Mar sin, is iad na co-aontaran asymptote (y = \frac{3}{4}x) agus (y = -\frac{3}{4}x).
5. Ìomhaigh Hipearbola:
Gus hipearbola a mhìneachadh, feumaidh sinn:
– A’ comharrachadh an ionaid aig (0,0).
– Cuir na mullaichean aig na puingean (4,0) agus (-4,0).
– Tarraing asimptotan le loidhnichean y = (3/4)x agus y = -(3/4)x a’ dol tron mheadhan.
– Comharraich na puingean fòcais aig (5,0) agus (-5,0).
Ceist 2:
Obraich a-mach co-aontar hipearbola aig a bheil prìomh ais de dh'fhaid 10 aonadan, ais àraidh de dh'fhaid 8 aonadan, agus aig a bheil meadhan aig an tùs.
Deasbad:
Bhon cheist tha fios againn gu bheil fad a’ phrìomh ais (2a) 10 aonadan, agus mar sin:
\[ 2a = 10 \Ceart a = 5 \]
Tha fad an dàrna ais (2b) 8 aonadan, agus mar sin:
[2b = 8 \Rightarrow b = 4 \]
Leis a’ mheadhan aig an tùs (0,0), is urrainn dhuinn co-aontar àbhaisteach an hipearbola a sgrìobhadh mar a leanas:
[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Às dèidh luachan a agus b a chur nan àite:
[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
Mar sin, is e seo an co-aontar hipearbola air a bheil sinn a’ bruidhinn:
[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
Ceist 3:
Ma tha hipearbola dìreach ann leis a’ cho-aontar \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1 \). Obraich a-mach an t-astar eadar an dà fhòcas aige.
Deasbad:
Airson co-aontar an hipearbola \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1\), tha sinn a’ comharrachadh gu bheil:
[ a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \]
[b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \]
Gus an t-astar eadar dà fhòcas a lorg, bidh sinn a’ cleachdadh an dàimh:
[c² = a² + b²]
[c² = 36 + 16 = 52] Saighead-dheiseil c = 52 = 2 13
Tha an t-astar eadar dà fhòcas hipearbola air a thomhas mar 2 uiread astar nam fòcas bhon mheadhan:
[2c = 2 × 2 ⅔ 13 = 4 ⅔ 13]
Mar sin, is e aonadan 13 an t-astar eadar an dà fhòcas.
Co-dhùnadh
San artaigil seo, tha sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan a thaobh hipearbolan a dheasbad, a’ gabhail a-steach a bhith a’ comharrachadh an ionaid, faid nan ais mhòra is bheaga, na fòcasan, na co-aontaran airson nan asymptotan, agus grafaichean hipearbolan. Tha e deatamach tuigse fhaighinn air mar a dh’fhuasglas tu na duilgheadasan seo, gu h-àraidh do dh’oileanaich a tha ag ionnsachadh geoimeatraidh anailiseach no matamataig adhartach.
Chan e dìreach teòiridh a th’ ann an hipearbola, ach tha tagraidhean farsaing aice ann an raointean saidheansail eile leithid reul-eòlas, radar, agus GPS. Mar sin, chan e dìreach fuasgladh cheistean matamataigeach a tha ann an sgrùdadh hipearbola, ach cuideachd tuigse fhaighinn air mar a ghabhas na bun-bheachdan matamataigeach seo a chur an sàs ann am fìor bheatha.
